Автокорреляционная функция

Автокорреляционная функция (АКФ) — зависимость взаимосвязи между функцией (сигналом) и её сдвинутой по аргументу функции копией от величины сдвига.

График 100 случайных величин, суммированный с синусоидальным сигналом малой амплитуды. График автокорреляционной функции позволяет увидеть периодичность в ряде данных.

Для детерминированных сигналов автокорреляционная функция (АКФ) сигнала ${\displaystyle f(t)}$ определяется интегралом:

${\displaystyle B(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t+\tau )dt=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )dt,}$

и показывает связь сигнала (функции ${\displaystyle \;f(t)}$) с копией самого себя, смещённого на величину ${\displaystyle \tau }$. Звёздочка означает комплексное сопряжение.

Для случайных процессов АКФ случайного процесса ${\displaystyle X(t)}$ имеет вид^[1][2]:

${\displaystyle B(t,t-\tau )=\mathbb {E} [X(t)X^{*}(t-\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}x_{2}^{*}f_{2}(x_{1},t;x_{2},t-\tau )dx_{1}dx_{2}}$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} }$ — математическое ожидание,

${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}^{*}}$ — значения случайных величин ${\displaystyle X(t)}$ и ${\displaystyle X^{*}(t-\tau )}$ в моменты времени ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle t-\tau }$,

${\displaystyle f_{2}(x_{1},t;x_{2},t-\tau )}$ — двумерная плотность вероятности случайных величин ${\displaystyle X(t)}$ и ${\displaystyle X(t-\tau )}$.

Также в литературе АКФ случайного процесса ${\displaystyle X(t)}$ определяют по формуле:

${\displaystyle {\begin{aligned}B(t,t-\tau )=\mathbb {E} [(X(t)-\mathbb {E} [X(t)])(X^{*}(t-\tau )-\mathbb {E} [X^{*}(t-\tau )])]=\\=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }(x_{1}-\mathbb {E} [X(t)])(x_{2}^{*}-\mathbb {E} [X^{*}(t-\tau )])f_{2}(x_{1},t;x_{2},t-\tau )dx_{1}dx_{2}.\end{aligned}}}$

В некоторых источниках эту функцию называют автоковариационной функций^[3].

Если исходная функция строго периодическая, то на графике автокорреляционной функции тоже будет строго периодическая функция. Таким образом, из этого графика можно судить о периодичности исходной функции, а, следовательно, и о её частотных характеристиках. Автокорреляционная функция применяется для анализа сложных колебаний, например, электроэнцефалограммы человека.

Применение в технике

Корреляционные свойства кодовых последовательностей, используемых в широкополосных системах, зависят от типа кодовой последовательности, её длины, частоты следования её символов и от её посимвольной структуры.

Изучение автокорреляционной функции играет важную роль при выборе кодовых последовательностей с точки зрения наименьшей вероятности установления ложной синхронизации.

Другие применения

Автокорреляционная функция играет важную роль в математическом моделировании и анализе временных рядов, показывая характерные времена для исследуемых процессов^[4]. В частности, циклам в поведении динамических систем соответствуют максимумы автокорреляционной функции некоторого характерного параметра.

См. также

• Теорема Хинчина — Колмогорова
• Корреляционная функция
• Взаимнокорреляционная функция
• Периодическая функция
• Корреляция
• Критерий Дарбина — Уотсона
• Дисперсия случайной величины
• Свёртка (математический анализ)