Автоморфное число

Автоморфное число — число, десятичная запись квадрата которого оканчивается цифрами самого этого числа. Например, число 625² = 390 625, 9 376² = 87 909 376, 890 625² = 793 212 890 625.

Последовательность автоморфных чисел начинается с

0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90 625, 109 376, 890 625, 2 890 625, 7 109 376, 12 890 625, 87 109 376, 212 890 625, 787 109 376, 1 787 109 376 (A003226).

Свойства

• Каждое автоморфное число является триморфным. Обратное в общем случае неверно: 9³ = 729, но 9² = 81; 9 — триморфное, но не автоморфное число.
• Автоморфные числа более высокого порядка получаются из чисел меньшего порядка, если к ним дописать спереди ещё одну цифру. Она может быть нулём 625 → 0625 → 90625. Учитывая числа с ведущим нулём, существует только по два числа с равным числом знаков^[1].
• Автоморфные числа существуют не в любой системе счисления: основание не должно быть простым числом или его степенью.
• Автоморфные числа могут быть сколь угодно большими.
• Автоморфные числа можно строить итеративно с помощью леммы Гензеля.

См. также

• Триморфные числа
• p-адические числа
• Подобие
• Фрактал