Лемма Гензеля

Лемма Гензеля — результат в модульной арифметике, утверждающий, что если алгебраическое уравнение имеет простой корень по модулю простого числа ${\displaystyle p}$, то данному корню однозначно соответствует корень того же уравнения, взятого по модулю ${\displaystyle p^{k}}$, который может быть найден итеративным подъёмом по степеням ${\displaystyle p}$. Названа в честь Курта Гензеля. В более общем случае, лемма Гензеля также используется как обоснование для аналогов метода Ньютона в полных коммутативных кольцах (в частности, в p-адических числах).

Формулировка

Существует множество эквивалентных формулировок леммы Гензеля.

Общая формулировка

Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, полное относительно дискретного нормирования ${\displaystyle v}$, а ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ — кольцо целых поля ${\displaystyle K}$ (то есть, элементов с неотрицательным нормированием). Пусть ${\displaystyle \pi \in K}$ — некоторый элемент ${\displaystyle K}$, такой что ${\displaystyle v(\pi )=1}$, обозначим соответствующее ему поле вычетов^[англ.] как ${\displaystyle k={\mathcal {O}}_{K}/\pi }$. Пусть ${\displaystyle f(X)\in {\mathcal {O}}_{K}[X]}$ — некоторый многочлен с коэффициентами из ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. Если у редуцированного многочлена ${\displaystyle {\overline {f}}(X)\in k[X]}$ есть простой корень (то есть, существует ${\displaystyle k_{0}\in k}$ такой что ${\displaystyle {\overline {f}}(k_{0})=0}$ и ${\displaystyle {\overline {f'}}(k_{0})\neq 0}$), то существует единственный ${\displaystyle a\in {\mathcal {O}}_{K}}$, такой что ${\displaystyle f(a)=0}$ и ${\displaystyle {\overline {a}}=k_{0}}$^[1].

Альтернативная формулировка

В менее общем виде лемма формулируется следующим образом: пусть ${\displaystyle f(x)}$ — многочлен с целыми (или p-адическими целыми) коэффициентами. Пусть также ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle k}$ — целые числа, такие что ${\displaystyle 0<m\leq k}$. Если ${\displaystyle r}$ — целое число, такое что

${\displaystyle f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}\quad {\text{и}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}},}$

то существует целое число ${\displaystyle s}$, такое что

${\displaystyle f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}\quad {\text{и}}\quad r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.}$

Более того, число ${\displaystyle s}$ определено однозначно по модулю ${\displaystyle p^{k+m}}$ и может быть выражено в явном виде как

${\displaystyle s=r-f(r)\cdot a,}$

где ${\displaystyle a}$ — целое число, такое что

${\displaystyle a\equiv [f'(r)]^{-1}{\pmod {p^{m}}}.}$

Следует заметить, что, в силу ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}$, также выполнено условие ${\displaystyle s\equiv r{\pmod {p^{k}}}}$.

Пример

Рассмотрим уравнение ${\displaystyle x^{2}\equiv x{\pmod {10^{k}}}}$, определяющее автоморфные числа длины ${\displaystyle k}$ в десятичной системе счисления. Его можно рассматривать в виде эквивалентной системы двух уравнений по модулю степеней простых чисел:

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}\equiv x{\pmod {2^{k}}},\\x^{2}\equiv x{\pmod {5^{k}}}\end{cases}}}$

При ${\displaystyle k=1}$ решениями уравнения являются числа, заканчивающиеся на ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 5}$ или ${\displaystyle 6}$. Чтобы получить решения для больших ${\displaystyle k}$, можно воспользоваться леммой Гензеля, считая, что ${\displaystyle f(x)=x^{2}-x}$.

По приведённым выше формулам, переход от ${\displaystyle p^{k}}$ к ${\displaystyle p^{k+m}}$ для ${\displaystyle m\leq k}$ будет иметь следующий вид:

${\textstyle s=r-(r^{2}-r)\cdot (2r-1)^{-1}={\frac {r^{2}}{2r-1}}{\pmod {p^{k+m}}}.}$

См. также

• Теорема Минковского — Хассе
• Лемма о поднятии экспоненты