Антипризма

Антипризма — полуправильный многогранник, у которого две параллельные грани (основания) — равные между собой правильные n-угольники, а остальные 2n граней (боковые грани) — правильные треугольники.

Антипризма на ${\displaystyle n}$-угольнике
Антипризма на 17-угольнике
Тип	полуправильный многогранник
Комбинаторика
Элементы	${\displaystyle 2n+2}$ граней ${\displaystyle 4n}$ рёбер ${\displaystyle 2n}$ вершин Χ = 2
Грани	${\displaystyle 2n}$ треугольников, 2 ${\displaystyle n}$-угольника
Конфигурация вершины	3.3.3.${\displaystyle n}$
Двойственный многогранник	трапецоэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	${\displaystyle A_{n}}$
Символ Шлефли	${\displaystyle \{\,\}\otimes \{n\}}$ ${\displaystyle s\{2,2n\}}$ ${\displaystyle sr\{2,n\}}$
Диаграмма Дынкина
Группа симметрии	${\displaystyle D_{nd}}$
Группа вращения	${\displaystyle D_{n}}$
Количественные данные
Длина ребра	${\displaystyle a}$
Площадь поверхности	${\displaystyle {\frac {n}{2}}\left(\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}}$
Объём	${\displaystyle {\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}\;a^{3}}$
Медиафайлы на Викискладе

Октаэдр является антипризмой с треугольными основаниями. Икосаэдр сложен из пятиугольной антипризмы и двух правильных пятиугольных пирамид.

Объем и площадь поверхности

Пусть ${\displaystyle a}$ — длина ребра правильной антипризмы. Тогда её объем вычисляется по формуле:

${\displaystyle V={\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}\;a^{3}}$

а площадь поверхности по формуле:

${\displaystyle S={\frac {n}{2}}\left(\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}.}$

Вариации и обобщения

Скрученная квадратная антипризма

• Скрученная квадратная антипризма получается из антипризмы поворотом одного из оснований при сохранении комбинаторной структуры граней рёбер и вершин.
  • Многогранник Шёнхардта — скрученная треугольная антипризма.

Семейство однородных антипризм n.3.3.3

Многогранник
Мозаика
Конфигурация	V2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...∞.3.3.3

Семейство однородных антипризм n.3.3.3

*n62 варианты симметрии правильных мозаик: {6,n}
Сферические	Евклидовы	Гиперболические мозаики
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

См. также

• Призма