Асимптотическое распределение

В математике и статистике асимптотическое распределение — распределение вероятности, которое по смыслу является пределом (предельным распределением) последовательности распределений. Чаще всего асимптотическое распределение используются для приближения функции распределения статистической оценки.

Определение

Последовательность распределений соответствует последовательности случайных величин ${\displaystyle Z_{i}}$, где ${\displaystyle i=1,2,\dots }$. Если распределение вероятности ${\displaystyle Z_{i}}$ сходится к распределению вероятности по мере возрастания ${\displaystyle i}$ (см. Сходимость по распределению), то у такой последовательности есть асимптотическое распределение. В частном случае, если последовательность случайных величин равна нулю или ${\displaystyle Z_{i}=0}$ при ${\displaystyle i}$ стремящимся к бесконечности, то асимптотическое распределение является вырожденным распределением^[англ.], соответствующим нулевому значению.

Тем не менее, чаще всего асимптотическое распределение используют, когда последовательность случайных величин ${\displaystyle Z_{i}}$ модифицируется двумя последовательностями неслучайных значений. Так если

${\displaystyle Y_{i}={\frac {Z_{i}-a_{i}}{b_{i}}}}$

сходится по распределению к невырожденному распределению для двух последовательностей ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ и ${\displaystyle \{b_{i}\}}$, то ${\displaystyle Z_{i}}$ имеет асимптотическое распределение. Если ${\displaystyle F}$ — функция распределения асимптотического распределения, то для достаточно большого ${\displaystyle n}$ выполняются следующие приближения:

${\displaystyle P\left({\frac {Z_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\leqslant x\right)\approx F(x)}$,

${\displaystyle P(Z_{n}\leqslant z)\approx F\left({\frac {z-a_{n}}{b_{n}}}\right)}$.

Из существования асимптотического распределения не следует, что последовательность случайных величин сходится как последовательность чисел. Сходится последовательность распределений вероятностей.

Центральная предельная теорема

Основная статья: Центральная предельная теорема

Нормальное распределение — наиболее часто встречающееся асимптотическое распределение. В частности, центральная предельная теорема — это пример, где асимптотическое распределение является нормальным.

Центральная предельная теорема

Предположим, что последовательность ${\displaystyle \{X_{1},X_{2},\dots \}}$ независимо и одинаково распределённых случайных величин с ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{i}]=\mu }$ и ${\displaystyle \mathbb {D} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty }$. Пусть ${\displaystyle S_{n}}$ будет средним ${\displaystyle \{X_{1},\dots ,X_{n}\}}$. Тогда при ${\displaystyle n}$, стремящемуся к бесконечности, случайные величины ${\displaystyle {\sqrt {n}}(S_{n}-\mu )}$ сходится по распределению к нормальному распределению ${\displaystyle {\mathit {N}}(0,\sigma ^{2})}$.^[1]

Из центральной предельной теоремы выводится только асимптотическое распределение. Для конечного числа наблюдений приближение верно только вблизи пика нормального распределения; необходимо очень большое количество наблюдений, чтобы приближение было верно и на хвостах распределения.

Локальная асимптотическая нормальность

Локальная асимптотическая нормальность

Локальная асимптотическая нормальность — это обобщение центральной предельной теоремы. Это свойство последовательности статистических моделей, которое позволяет после масштабирования параметра сдвига асимптотически аппроксимировать эту последовательность нормальной моделью сдвига.

Важный частный случай, когда локальная асимптотическая нормальность достигается при выборке независимых и одинаково распределённых наблюдений из регулярной параметрической модели — в таких условиях это просто центральная предельная теорема.

В ^[2] приведено прямое определение асимптотической нормальности:

Последовательность ${\displaystyle \{V_{n}\}}$ асимптотически нормальная, если существует последовательности постоянных величин ${\displaystyle \{a_{n}\}}$, ${\displaystyle \{b_{n}\}}$, такие что ${\displaystyle (V_{n}-a_{n})/b_{n}}$ сходится по распределению к стандартному нормальному распределению. Постоянные ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle b_{n}}$ называют средним и стандартным отклонением соответственно ${\displaystyle V_{n}}$.

См. также

• Асимптотический анализ
• Локальная теорема Муавра — Лапласа
• Дельта-метод (статистика)
• Асимптотическая теория (статистика)^[англ.]
• Предельная плотность дискретных точек^[англ.]