Сходимость по распределению

Сходимость по распределению — вид сходимости случайных величин: последовательность случайных величин ${\displaystyle (X_{n=1}^{\infty })}$ сходится по распределению к случайной величине ${\displaystyle X}$, если распределения ${\displaystyle P_{n}}$ соответствующих элементов ${\displaystyle X_{n}}$ слабо сходятся к распределению ${\displaystyle P}$ величины ${\displaystyle X}$^[1]. Используемые обозначения: ${\displaystyle X_{n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}X}$, ${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$.

Случайная величина ${\displaystyle X}$, определённая на вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ индуцирует распределение (вероятностную меру) ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X^{-1})}$; соответственно, последовательность случайных величин ${\displaystyle (X_{n=1}^{\infty })}$ сходится по распределению к случайной величине ${\displaystyle X}$, если для любой непрерывной ограниченной функции ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\int f(x)\,\mathbb {P} ^{X_{n}}(dx)=\int f(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx)}$.

С использованием теоремы о замене меры в интеграле Лебега, определение эквивалентно можно сформулировать как сходимость для математических ожиданий для любой непрерывной ограниченной функции ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} f(X_{n})=\mathbb {E} f(X)}$,

иногда это определение используется как основное^[2].

Другое эквивалентное определение — величины ${\displaystyle X_{n}}$ сходятся по распределению к ${\displaystyle X}$, если их функции распределения ${\displaystyle F_{X_{n}}}$ сходятся к функции распределения предела ${\displaystyle F_{X}}$ во всех точках непрерывности:

${\displaystyle F_{X}\in C(x)\Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }F_{X_{n}}(x)=F_{X}(x)}$.

Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f_{X_{n}}(x)\to f_{X}(x)}$

почти всюду, то ${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$. Обратное, вообще говоря, неверно.

Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимость почти наверное и сходимость в среднем (то есть в ${\displaystyle L^{p}}$ при ${\displaystyle p\geqslant 1}$)) влечёт сходимость по распределению:

${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }X\Rightarrow X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$;

обратное, вообще говоря, неверно. Таким образом, сходимость по распределению может быть рассмотрена как самая слабая форма сходимости случайных величин.

Теорема Слуцкого позволяет складывать и умножать сходящиеся по вероятности и по распределению функции. Теорема Леви о непрерывности связывает сходимость случайных величин по распределению с поточечной сходимостью их характеристических функций.