Асимптотический анализ

Эта статья — о поведении функций при стремлении их аргументов к некоторым предельным значениям. Об асимптотах в геометрии см. Асимптота.

Асимптотический анализ — метод описания предельного поведения функций.

Например, в функции ${\displaystyle f(n)=n^{2}+3n}$ при стремлении ${\displaystyle n}$ к бесконечности слагаемое ${\displaystyle 3n}$ становится пренебрежимо малым по сравнению с ${\displaystyle n^{2}}$, поэтому про функцию ${\displaystyle f(n)}$ говорят, что она «асимптотически эквивалентна ${\displaystyle n^{2}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$», что зачастую также записывают как ${\displaystyle f(n)\sim n^{2}}$. Примером важного асимптотического результата является теорема о распределении простых чисел. Пусть ${\displaystyle \pi (x)}$ обозначает функцию распределения простых чисел, то есть, ${\displaystyle \pi (x)}$ равна количеству простых чисел, которые меньше либо равны ${\displaystyle x}$, тогда теорема может быть сформулирована как ${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}}$.

Асимптотическое равенство

Основная статья: Асимптотическое равенство

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ — некоторые функции. Тогда бинарное отношение ${\displaystyle \sim }$ определяется таким образом, что

${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{при }}x\to \infty )}$

если и только если^[1]

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$

Функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ при этом называются асимптотически эквивалентными, так как ${\displaystyle \sim }$ является отношением эквивалентности для функций над ${\displaystyle x}$. Областью определения ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ при этом может быть любое множество, в котором имеет смысл понятие предела: вещественные числа, комплексные числа, натуральные и т. д. Те же обозначения также используются для других предельных ограничений на ${\displaystyle x}$, таких как ${\displaystyle x\to 0}$. Конкретный предел обычно не указывают если он понятен из контекста.

Определение выше распространено в литературе, однако оно теряет смысл если ${\displaystyle g(x)}$ принимает значение ${\displaystyle 0}$ бесконечное число раз. Поэтому некоторые авторы используют альтернативное определение в терминах O-нотации:

${\displaystyle f(x)-g(x)\in o(g(x)).}$

Данное определение эквивалентно приведённому выше если ${\displaystyle g(x)}$ отлично от нуля в некоторой окрестности предельной точки^[2][3].

Свойства

Если ${\displaystyle f\sim g}$ и ${\displaystyle a\sim b}$, то при некоторых естественных ограничениях верно следующее:

• ${\displaystyle f^{r}\sim g^{r}}$, для любого вещественного ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle \log(f)\sim \log(g)}$
• ${\displaystyle f\times a\sim g\times b}$
• ${\displaystyle f/a\sim g/b}$

Указанные свойства позволяют свободно менять асимптотически эквивалентные функции друг на друга в некоторых алгебраических выражениях.

Примеры асимптотических формул

• Формула Стирлинга для факториалов

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

• Количество способов разбить натуральное число ${\displaystyle n}$ в неупорядоченную сумму натуральных чисел

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$

• Функция Эйри ${\displaystyle Ai(x)}$ — решение дифференциального уравнения ${\displaystyle y''-xy=0}$

${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$

• Функции Ганкеля

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$

Асимптотическое разложение

Основная статья: Асимптотическое разложение

Асимптотическим разложением функции ${\displaystyle f(x)}$ называют выражение функции в виде ряда, чьи частичные суммы могут не сходиться, но при этом любая частичная сумма даёт правильную асимптотическую оценку ${\displaystyle f}$. Таким образом, каждый следующий элемент асимптотического разложения даёт чуть более точное описание порядка роста ${\displaystyle f}$. Другими словами, если ${\displaystyle f=g_{1}+g_{2}+g_{3}+\dots }$ — асимптотическое разложение ${\displaystyle f}$, то ${\displaystyle f\sim g_{1},}$ ${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$ и, в общем случае, ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$ для любого ${\displaystyle k}$. В соответствии с определением ${\displaystyle \sim }$ это значит, что ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$, то есть, ${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$ растёт асимптотически значительно медленнее ${\displaystyle g_{k}.}$

Если асимптотическое разложение не сходится, то для любого аргумента ${\displaystyle x}$ найдётся некоторая частичная сумма, которая наилучшим образом приближает функцию в этой точке, а дальнейшее добавление слагаемых к ней будет лишь уменьшать точность. Как правило, число слагаемых в такой оптимальной сумме будет увеличиваться с приближением к предельной точке.

Примеры асимптотических разложений

• Гамма-функция

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$

• Интегральная экспонента

${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$

• Функция ошибок

${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$

где (2n − 1)!! — двойной факториал.

Применения

Асимптотический анализ используется:

• В прикладной математике для построения численных методов решения уравнений.
• В математической статистике и теории вероятностей для определения предельных свойств случайных величин и статистических оценок.
• В информатике при анализе алгоритмов и их времени работы.
• В статистической физике при анализе поведения физических систем.
• В анализе катастроф при определении причин катастрофы моделированием множества катастроф в том же месте.

Асимптотический анализ является ключевым инструментом изучения дифференциальных уравнений, возникающих в математическом моделировании явлений реального мира^[4]. Как правило, применение асимптотического анализа направлено на исследование зависимости модели от некоторого безразмерного параметра, который предполагается пренебрежимо малым в масштабах решаемой задачи.

Асимптотические разложения, как правило, возникают при приближенных вычислениях некоторых интегралов (метод Лапласа, метод перевала) или распределений вероятности (ряд Эджворта). Примером расходящегося асимптотического разложения являются графы Фейнмана в квантовой теории поля.

См. также

• Асимптота
• Асимптотическая плотность (в теории чисел)
• «O» большое и «o» малое
• Асимптотически достоверное событие