Вариационный ряд

Вариационный ряд (упорядоченная выборка^[1]) — последовательность ${\displaystyle X_{(1)}\leqslant X_{(2)}\leqslant \cdots \leqslant X_{(n-1)}\leqslant X_{(n)}}$, полученная в результате расположения в порядке неубывания исходной последовательности независимых одинаково распределённых случайных величин ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$. Вариационный ряд и его члены представляют собой так называемые порядковые статистики, и используются в математической статистике как основа непараметрических методов. По функции распределения ${\displaystyle F(x)}$ исходных случайных величин вычисляются распределения любого члена вариационного ряда и совместные распределения его членов^[2][3].

Вариационный ряд служит для построения функции эмпирического распределения ${\displaystyle {\hat {F}}(x)=\mu (x)/n}$ , где ${\displaystyle \mu (x)}$ — число членов вариационного ряда меньших ${\displaystyle x}$, которая является оценкой функции распределения ${\displaystyle F(x)}$ случайных величин ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$. Согласно теореме Гливенко — Кантелли эта фундаментальная непараметрическая статистика сходится к функции распределения почти наверное.

Величина ${\displaystyle X_{(k)}}$ называется k-й порядковой статистикой.

Крайние члены ${\displaystyle X_{(1)}}$ и ${\displaystyle X_{(n)}}$ называются экстремальными значениями вариационного ряда.

Промежуток ${\displaystyle (X_{(1)},X_{(n)})}$ между крайними членами вариационного ряда называется интервалом варьирования, его длина ${\displaystyle W_{n}=X_{(n)}-X_{(1)}}$ называется размахом выборки.

Величина ${\displaystyle X_{(m+1)}}$ при нечётном ${\displaystyle n=2m+1}$ или величина ${\displaystyle (X_{(m+1)}+X_{(m)})/2}$ при чётном ${\displaystyle n=2m}$ называется выборочной медианой и служит оценкой медианы распределения.