Теорема Гливенко — Кантелли

Теорема Гливе́нко — Канте́лли в математической статистике уточняет результат о сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots }$ - бесконечная выборка из распределения, задаваемого функцией распределения ${\displaystyle F}$. Пусть ${\displaystyle {\hat {F}}}$ - выборочная функция распределения, построенная на первых ${\displaystyle n}$ элементах выборки. Тогда

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }\left|{\hat {F}}(x)-F(x)\right|=0\;}$ почти наверное,

где символ ${\displaystyle \sup }$ обозначает точную верхнюю грань.

В случае непрерывной функции распределения ${\displaystyle F}$ теорема была доказана советским математиком Гливенко. На случай произвольной функции распределения теорема обобщена итальянским математиком Кантелли. Оба результата опубликованы в одном и том же журнале в 1933 году.

Доказательство

Обозначим ${\displaystyle D_{n}(\omega )=\sup _{x\in \mathbb {R} }\left|{\hat {F}}(x)-F(x)\right|}$. Так как обе функции распределения непрерывны справа, то значение в любой точке можно приблизить точками из рациональной окрестности ${\displaystyle D_{n}(\omega )=\sup _{x\in \mathbb {Q} }\left|{\hat {F}}(x)-F(x)\right|}$

Так как объединение счетного числа измеримых функций измеримо, то ${\displaystyle D_{n}}$ — случайная величина

Зафиксируем ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ и положим ${\displaystyle x_{N,k}=\inf \left\{x\in \mathbb {R} :F(x)\geq {\frac {k}{N}}\right\}}$. Легко заметить, что ${\displaystyle x_{N,0}=-\infty ;x_{N,N}=\infty$ ;\forall k\in \{1,\dots ,N-1\}\hookrightarrow x_{N,k}} конечно

Рассмотрим теперь ${\displaystyle x}$ на произвольном промежутке ${\displaystyle [x_{N,k},x_{N,k+1})}$ и оценим интересующую нас разность через значения на концах:

${\displaystyle {\hat {F}}(x)-F(x)\leq {\hat {F}}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k})={\hat {F}}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k+1}-0)+F(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k})\leq {\hat {F}}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k+1}-0)+{\frac {1}{N}}}$

Аналогично прибавлением и вычитанием ${\displaystyle F(x_{N,k})}$ доказывается, что ${\displaystyle {\hat {F}}(x)-F(x)\geq {\hat {F}}(x_{N,k})-F(x_{N,k})-{\frac {1}{N}}}$

Получаем, что ${\displaystyle D_{n}\leq \max _{1\leq k\leq N-1}\left(\max \left(|{\hat {F}}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k+1}-0)|,|{\hat {F}}(x_{N,k})-F(x_{N,k})|\right)+{\frac {1}{N}}\right)}$

Теперь по следствию из УЗБЧ имеем ${\displaystyle {\hat {F}}(x)\xrightarrow {\text{п.н.}} F(x),{\hat {F}}(x-0)={\hat {P}}((-\infty ,x))\xrightarrow {\text{п.н.}} P((-\infty ,x))\Rightarrow }$ для достаточно больших ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ и почти всех ${\displaystyle \omega \in \Omega \hookrightarrow {\overline {\lim _{n}}}\sup _{x\in \mathbb {R} }|{\hat {F}}(x)-F(x)|{\stackrel {\text{п.н.}}{<}}\varepsilon \Rightarrow D_{n}(\omega )\xrightarrow {\text{п.н.}} 0}$

См. также

• Теорема Колмогорова.