Вероятность безотказной работы

Вероятность безотказной работы — это вероятность того, что в пределах заданной наработки или заданном интервале времени отказ объекта не возникает. Вероятность безотказной работы вместе с интенсивностью отказов определяет безотказность объекта (при этом вероятность безотказной работы обратна вероятности отказа объекта).

Показатель вероятности безотказной работы определяется статистической оценкой: ${\displaystyle P(t)={\frac {N_{0}-n(t)}{N_{0}}}=1-{\frac {n(t)}{N_{0}}}}$ где ${\displaystyle N_{0}}$ — исходное число работоспособных объектов,
${\displaystyle n(t)}$ — число отказавших объектов за время ${\displaystyle t}$.

---

Вероятность безотказной работы группы взаимосвязанных объектов равна произведению вероятностей безотказной работы каждого объекта в этой группе: ${\displaystyle P(t)=P_{1}(t)\cdot P_{2}(t)\cdot ...\cdot P_{n}(t)=\prod _{k=1}^{n}P_{k}(t)}$ где n — число объектов в группе.

Чем больше объектов в группе, тем ниже надежность всей группы, так как если ${\displaystyle P_{1}(t)=P_{2}(t)=...=P_{n}(t)}$, то тогда ${\displaystyle P(t)=[P_{1}(t)]^{n}}$.

Среднее время безотказной работы системы

Среднее время безотказной работы (средняя наработка на отказ) ${\displaystyle T_{0}}$ — для невосстанавливаемых (неремонтируемых) систем — это математическое ожидание времени работы системы до отказа:

${\displaystyle T_{0}=M=\int \limits _{0}^{\mathcal {\infty }}t\cdot f(t)dt=-\int \limits _{0}^{\mathcal {\infty }}tdP(t)}$

Пределы несобственного интеграла изменяются от 0 до ${\displaystyle \infty }$, так как время не может быть отрицательным; ${\displaystyle f(t)}$ — есть плотность вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента.

${\displaystyle P(T)}$ — есть вероятность безотказной работы в интервале времени ${\displaystyle 0<t<T.}$ В начальный момент вероятность ${\displaystyle P(T)}$ равна единице. В конце времени работы системы вероятность ${\displaystyle P(T)}$ равна нулю.

Вероятность ${\displaystyle P(T)}$ связана с плотностью вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента следующим образом:

${\displaystyle f(t)=-{\frac {dP(t)}{dt}}.}$

Проинтегрировав выражение для ${\displaystyle T_{0}}$ по частям, получим:

${\displaystyle T_{0}=\int \limits _{0}^{\mathcal {\infty }}P(t)dt.}$

Вероятность безотказной работы в зависимости от наработки

Графически полученное выражение для ${\displaystyle T_{0}}$ представлено на рисунке как площадь под графиком вероятности безотказной работы ${\displaystyle P(T)}$ от времени ${\displaystyle t.}$ В начальный момент вероятность <math>Р(T)</math> равна единице. В конце времени работы системы <math>P(T)</math> равна нулю.

Здесь ${\displaystyle T\geq 0}$ — случайное время работы системы до отказа или наработка на отказ для невосстанавливаемого элемента или системы.

Типичные распределения времени безотказной работы

Основной источник: ^[1]

• Экспоненциальное распределение: ${\displaystyle f(t)=\lambda e^{-\lambda t}}$, ${\displaystyle \lambda >0}$, ${\displaystyle t\geqslant 0}$.
• Гамма-распределение: ${\displaystyle f(t)={\frac {\lambda (\lambda t)^{\alpha -1}e^{-\lambda t}}{\Gamma (\alpha )}}}$, ${\displaystyle \lambda ,\alpha >0}$, ${\displaystyle t\geqslant 0}$.
• Распределение Вейбулла: ${\displaystyle f(t)=\lambda \alpha t^{\alpha -1}e^{-\lambda t^{\alpha }}}$, ${\displaystyle \lambda ,\alpha >0}$, ${\displaystyle t\geqslant 0}$.
• Модифицированное распределение экстремального значения: ${\displaystyle f(t)={\frac {1}{\lambda }}\exp {\left[-{\frac {e^{t}-1}{\lambda }}+t\right]}}$, ${\displaystyle \lambda >0}$, ${\displaystyle t\geqslant 0}$.
• Усечённое нормальное распределение: ${\displaystyle f(t)={\frac {1}{a\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left[-{\frac {(t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}}$, ${\displaystyle \sigma >0}$, ${\displaystyle -\infty <\mu <\infty }$, ${\displaystyle 0<t<\infty }$.
• Логарифмически-нормальное распределение: ${\displaystyle f(t)={\frac {1}{t\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left[-{\frac {(\lg {t}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}}$, ${\displaystyle \sigma >0}$, ${\displaystyle -\infty <\mu <\infty }$, ${\displaystyle t\geqslant 0}$.