Распределение Вейбулла

Распределе́ние Ве́йбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Валодди Вейбулла, детально охарактеризовавшего его в 1951, хотя впервые его определил Фреше в 1927, а применено оно было ещё в 1933 для описания распределения размеров частиц.

Распределение Вейбулла
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle \mathrm {W} (k,\lambda )}$
Параметры	${\displaystyle \lambda >0}$ - коэффициент масштаба, ${\displaystyle k>0}$ - коэффициент формы
Носитель	${\displaystyle x\in [0;+\infty )}$
Плотность вероятности	${\displaystyle (k/\lambda )(x/\lambda )^{(k-1)}e^{-(x/\lambda )^{k}}}$
Функция распределения	${\displaystyle 1-e^{-(x/\lambda )^{k}}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle \lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}$
Медиана	${\displaystyle \lambda (\ln 2)^{1/k}\,}$
Мода	${\displaystyle {\frac {\lambda (k-1)^{\frac {1}{k}}}{k^{\frac {1}{k}}}},}$ для ${\displaystyle k>1}$
Дисперсия	${\displaystyle \lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \Gamma (1+{\frac {2}{k}})\lambda ^{2}+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac {4}{k}}\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)+6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-3\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle \gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\ k\geq 1}$
Характеристическая функция	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)}$

Определение

Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью ${\displaystyle f_{X}(x)}$, имеющей вид:

${\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right..}$

Тогда говорят, что ${\displaystyle X}$ имеет распределение Вейбулла. Пишут: ${\displaystyle X\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}$.

Если величину X принять за наработку до отказа, тогда получается распределение, в котором интенсивность отказов пропорциональна времени. Тогда:

• k < 1 показывает, что интенсивность отказов уменьшается со временем
• k = 1 показывает, что интенсивность отказов не меняется со временем
• k > 1 показывает, что интенсивность отказов увеличивается со временем

В материаловедении коэффициент k известен как модуль Вейбулла.

Свойства

Функция плотности

Вид функции плотности распределения Вейбулла сильно зависит от значения k. Для 0 < k < 1 плотность стремится к бесконечности при ${\displaystyle x\to 0+}$ и строго убывает. Для k = 1 плотность стремится к 1/λ при ${\displaystyle x\to 0+}$ и строго убывает. Для k > 1 плотность стремится к 0 при ${\displaystyle x\to 0+}$, возрастает до достижения своей моды и убывает после. Плотность имеет бесконечный отрицательный угловой коэффициент в x = 0 при 0 < k < 1 , бесконечный положительный угловой коэффициент в x = 0 при 1 < k < 2, и нулевой угловой коэффициент в x = 0 при k > 2. При k = 2 плотность имеет конечный положительный угловой коэффициент в x = 0. При ${\displaystyle k\to \infty }$ распределение Вейбулла сходится к дельта-функции, центрированной в x = λ. Кроме того, коэффициент асимметрии и коэффициент вариации зависят только от коэффициента формы.

Функция распределения

Функция распределения Вейбулла:

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}}$

при x ≥ 0, и F(x; k; λ) = 0 при x < 0

Квантиль распределения Вейбулла:

${\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda {(-\ln(1-p))}^{1/k}}$

при 0 ≤ p < 1.

Интенсивность отказов h:

${\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}$

Моменты

Производящая функция моментов логарифма случайной величины, имеющей распределение Вейбулла

${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right),}$

где Γ — это гамма-функция. Аналогично, Характеристическая функция логарифма X задаётся

${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).}$

Моменты случайной величины ${\displaystyle X}$, имеющей распределение Вейбулла имеют вид

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)}$, где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция,

откуда

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}$.

Коэффициент асимметрии задаётся функцией

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$

Коэффициент эксцесса

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}},}$

где ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)}$, так же может быть записан:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$

Производящая функция моментов

Существует множество выражений для производящей функции моментов самой ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).}$

Так же можно работать непосредственно с интегралом

${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.}$

Если коэффициент k предполагается рациональным числом, выраженным k = p/q, где p и q целые, то интеграл может быть вычислен аналитически.^[1] С заменой t на -t, получается

${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right),}$

где G — это G-функция Мейера.

Информационная энтропия

Информационная энтропия задаётся таким образом

${\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1,}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — это Постоянная Эйлера — Маскерони.

Оценка коэффициентов

Наибольшее правдоподобие

Оценка максимального правдоподобия для коэффициента ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\hat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}$

Для ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\hat {k}}^{-1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}}$

Условная функция надёжности Вейбулла

Для 2-х параметрического распределения Вейбулла функция имеет вид:

${\displaystyle R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)}}={\frac {e^{-\left({\frac {T+t}{\lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T}{\lambda }}\right)^{k}}}}}$

или

${\displaystyle R(t|T)=e^{-\left[\left({\frac {T+t}{\lambda }}\right)^{k}-\left({\frac {T}{\lambda }}\right)^{k}\right]}}$

Для 3-х параметрического:

${\displaystyle R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)}}={\frac {e^{-\left({\frac {T+t-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T-\theta }{\lambda }}\right)^{k}}}}}$

Она называется условной, потому что показывает вероятность того, что объект проработает ещё ${\displaystyle t}$ времени при условии, что он уже проработал ${\displaystyle T}$.

График Вейбулла

Данные распределения Вейбулла визуально могут быть оценены с использованием графика Вейбулла^[2] . Это график типа Q-Q выборочной функции распределения со специальными осями. Оси — ${\displaystyle \ln(-\ln(1-{\hat {F}}(x)))}$ и ${\displaystyle \ln(x)}$ Причина изменения переменных в том, что выборочная функция распределения Вейбулла может быть представлена в линейном виде

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}}$

Поэтому если данные получены из распределения Вейбулла, на графике Вейбулла можно ожидать прямую линию.

Есть множество способов получения выборочной функции распределения из данных: один из методов заключается в том, чтобы получить вертикальную координату каждой точки, используя ${\displaystyle {\hat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}}$, где ${\displaystyle i}$ — это ранг точки данных, а ${\displaystyle n}$ — это общее количество точек.^[3]

Использование

Распределение Вейбулла используется:

• В анализе выживаемости
• В надёжности и анализе отказов
• В электротехнике для представления перенапряжения, возникающего в электрических цепях
• В промышленной инженерии
• В теории экстремальных значений

Соответствие функции распределения Вейбулла выпавшей за один день годовой норме дождей

• В прогнозировании погоды
  • Для описания распределения скорости ветра как распределения, обычно совпадающего с распределением Вейбулла в ветроэнергетике
• В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемого сигналов, создаваемой некоторыми типами помех
• В моделировании замирания сигнала в беспроводных коммуникациях
• В прогнозировании технологических изменений
• В гидрологии распределение Вейбулла применимо к экстремальным событиям, таким как выпадение годовой нормы дождей за день или разливу реки. На рисунке показано такое соответствие, а также 90 % доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении.
• В описании размера частиц, полученных путём размельчения, помола или дробления
• Из-за доступности используется в электронных таблицах, когда основное поведение в действительности лучше описывается распределением Эрланга

Связь с другими распределениями

• 3-параметрическое распределение Вейбулла. Имеет функцию плотности

${\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}}$

где ${\displaystyle x\geq \theta }$ и f(x; k, λ, θ) = 0 при x < θ, где ${\displaystyle k>0}$ — коэффициент формы, ${\displaystyle \lambda >0}$ — коэффициент масштаба и ${\displaystyle \theta }$ — коэффициент сдвига распределения. Когда θ=0, оно сводится к 2-х параметрическому распределению Вейбулла.

• 1-параметрическое распределение Вейбулла. Выводится предполагая ${\displaystyle \theta =0}$ и ${\displaystyle k=C}$ — константа:

${\displaystyle f(t)={\frac {C}{\lambda }}\left({\frac {t}{\lambda }}\right)^{C-1}e^{-\left({\frac {t}{\lambda }}\right)^{C}}}$

• Распределение Вейбулла может быть получено как функция от экспоненциального.

Если ${\displaystyle X}$ — экспоненциальное распределение ${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )}$ для параметра ${\displaystyle \lambda }$, то случайная величина ${\displaystyle Y=X^{1/k}~(k>0)}$ имеет распределение Вейбулла ${\displaystyle \operatorname {W} (\lambda ^{1/k},k)}$. Для доказательства рассмотрим функцию распределения ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y<y)=P(X^{1/k}<y)=P(X<y^{k})=1-e^{-\lambda \cdot y^{k}}=1-e^{-(\lambda ^{1/k}\cdot y)^{k}},~y>0}$

Полученная функция — функция распределения для распределения Вейбулла.

• Метод обратного преобразования: если ${\displaystyle U\sim \mathrm {U} (0,1)}$, то

${\displaystyle \lambda \left(-\ln U\right)^{1/k}\sim \mathrm {W} (k,\lambda )}$.

• С распределением Фреше: если ${\displaystyle \mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}(k=\alpha ,\lambda =m)}$ , то ${\displaystyle {\tfrac {m^{2}}{\mathrm {X} }}\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)}$.
• С распределением Гумбеля: если ${\displaystyle \mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}}$ , то ${\displaystyle \log(X)\sim {\textrm {Gumbel}}}$.
• Распределение Рэлея — частный случай распределения Вейбулла при ${\displaystyle k=2}$ и ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2}}\sigma }$^[4]
• Распределение Вейбулла является частным случаем обобщённого распределения экстремальных значений^[5]
• Впервые распределение Вейбулла было применено для описания распределения размера частиц. Широко использовалось в обогащении полезных ископаемых при измельчении. В этом контексте функция распределения имеет вид

${\displaystyle f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{ln\left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}}$

где

${\displaystyle x}$: Размер частицы

${\displaystyle P_{\rm {80}}}$: 80-й процентиль распределения размера частиц

${\displaystyle m}$: Коэффициент, описывающий размах распределения