Эволюта

Эволю́та (от лат. evolutus «развёрнутый») плоской кривой — геометрическое место точек, являющихся центрами кривизны исходной кривой^[1].

Гипербола и для её правой ветви — эволюта, а также окружность, соответствующая кривизне вершины гиперболы

Эволюта — огибающая нормалей, проведённых в каждой точке плоской кривой^[2].

По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой.

Уравнения

Если линия задана параметрическими уравнениями ${\displaystyle X=x(t),\ Y=y(t)}$, то её эволюта имеет уравнение:

${\displaystyle X=x(t)-y'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}},}$

${\displaystyle Y=y(t)+x'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}}$

В частности, если ${\displaystyle t}$ является натуральным параметром кривой ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$, то её эволюта может быть задана^[2] уравнением:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)+{\frac {1}{k(t)}}{\vec {n}}(t)}$,

где ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — единичный вектор нормали кривой, направленный в сторону центра кривизны, ${\displaystyle k}$ — кривизна.

Примеры

Вытянутая астроида как эволюта эллипса

Эволюта астроиды

• Вытянутая астроида

${\displaystyle x={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t,\quad y={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t}$

является эволютой эллипса

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$.

• Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
• Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной и параллельно сдвинутой от исходной так, что вершины переходят в её каспы. Эти свойства открыты Христианом Гюйгенсом; они были им использованы при создании точных механических часов, собственная частота маятника в которых не зависит от амплитуды колебаний.

См. также

• Эвольвента
• Параллельная кривая
• Соприкасающаяся окружность