Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения, рассчитанная на основе данных выборки. Виды выборочных дисперсий:

• смещённая;
• несмещённая, или исправленная

Определения

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots }$ — выборка из распределения вероятности. Тогда

• выборочная дисперсия — это случайная величина

${\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}}$,

где символ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ обозначает выборочное среднее;

• несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$.

Замечание

Очевидно,

${\displaystyle S^{2}={\frac {n}{n-1}}S_{n}^{2}}$.

Свойства выборочных дисперсий

• Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть ${\displaystyle {\hat {F}}(x)}$ — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ функция ${\displaystyle {\hat {F}}(\omega ,x)}$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна ${\displaystyle S_{n}^{2}(\omega )}$.

• Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если ${\displaystyle \mathrm {D} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty }$, то

${\displaystyle S_{n}^{2}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }\;\sigma ^{2}}$

и

${\displaystyle S^{2}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }\;\sigma ^{2}}$,

где символ «${\displaystyle \to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }}$» обозначает сходимость по вероятности.

• Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия — несмещённой:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[S_{n}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}}$,

и

${\displaystyle \mathbb {E} \left[S^{2}\right]=\sigma ^{2}}$.

В самом деле $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [S_{n}^{2}]&=\operatorname {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\left(Y_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\right)}^{2}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}-{\frac {2}{n}}Y_{i}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}\sum _{k=1}^{n}Y_{k}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]-{\frac {2}{n}}\left(\sum _{j\neq i}\operatorname {E} \left[Y_{i}Y_{j}\right]+\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]\right)+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k\neq j}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}Y_{k}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}^{2}\right]\right)\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {n-2}{n}}\operatorname {E} \left[Y_{i}^{2}\right]-{\frac {2}{n}}\sum _{j\neq i}\operatorname {E} \left[Y_{i}Y_{j}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k\neq j}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}Y_{k}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y_{j}^{2}\right]\right)\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {n-2}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-{\frac {2}{n}}(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}n(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\right]\\[5pt]&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}\end{aligned}}}$$

• Исправленная выборочная дисперсия подчиняется распределению хи-квадрат:

${\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$,

• а её дисперсия:

$${\displaystyle \operatorname {D} \left[S^{2}\right]=\operatorname {D} \left({\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\chi _{n-1}^{2}\right)={\frac {\sigma ^{4}}{{\left(n-1\right)}^{2}}}\operatorname {D} \left(\chi _{n-1}^{2}\right)={\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}.}$$

См. также

• Дисперсия случайной величины
• Выборочное среднее
• Несмещённая оценка
• Дисперсия Аллана
• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки