Распределение хи-квадрат

Распределе́ние ${\displaystyle \chi ^{2}}$ (хи-квадра́т) с ${\displaystyle k}$ степеня́ми свобо́ды — распределение суммы квадратов ${\displaystyle k}$ независимых стандартных нормальных случайных величин.

Распределение ${\displaystyle \chi ^{2}}$. Распределение Пирсона
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$ или ${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$
Параметры	${\displaystyle k>0}$ — число степеней свободы
Носитель	${\displaystyle x\in [0;+\infty )}$
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}}$
Функция распределения	${\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle k}$
Медиана	примерно ${\displaystyle k-2/3}$
Мода	0 для ${\displaystyle k<2,}$ ${\displaystyle k-2,}$ если ${\displaystyle k\geq 2}$
Дисперсия	${\displaystyle 2\,k}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle 12/k}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle {\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!-\!{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \psi (x)=\Gamma '(x)/\Gamma (x).}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}}$, если ${\displaystyle 2\,t<1}$
Характеристическая функция	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}}$

Определение

Пусть ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: ${\displaystyle z_{i}\sim N(0,1)}$. Тогда случайная величина

${\displaystyle x=z_{1}^{2}+\ldots +z_{k}^{2}}$

имеет распределение хи-квадрат с ${\displaystyle k}$ степенями свободы, то есть ${\displaystyle x\sim f_{\chi ^{2}(k)}(x)}$, или, если записать по-другому:

${\displaystyle x=\sum \limits _{i=1}^{k}z_{i}^{2}\sim \chi ^{2}(k)}$.

Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и его плотность имеет вид:

${\displaystyle f_{\chi ^{2}(k)}(x)\equiv \Gamma \!\left({k \over 2},{2}\right)={\frac {(1/2)^{k \over 2}}{\Gamma \!\left({k \over 2}\right)}}\,x^{{k \over 2}-1}\,e^{-{\frac {x}{2}}}}$,

где ${\displaystyle \Gamma \!\left({k/2},2\right)}$ означает гамма-распределение, а ${\displaystyle \Gamma \!\left({k/2}\right)}$ — гамма-функцию.

Функция распределения имеет следующий вид:

${\displaystyle F_{\chi ^{2}(k)}(x)={\frac {\gamma \left({k \over 2},{x \over 2}\right)}{\Gamma \left({k \over 2}\right)}}}$,

где ${\displaystyle \Gamma }$ и ${\displaystyle \gamma }$ обозначают соответственно полную и нижнюю неполную гамма-функции.

Свойства распределения хи-квадрат

• Распределение хи-квадрат устойчиво относительно суммирования. Если ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$ независимы, и ${\displaystyle Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$, а ${\displaystyle Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})}$, то ${\displaystyle Y_{1}+Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})}$.
• Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если ${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(k)}$, то

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=k}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [Y]=2k}$.

• В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины ${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(k)}$ может быть приближено нормальным ${\displaystyle Y\approx N(k,2k)}$. Более точно

${\displaystyle {\frac {Y-k}{\sqrt {2k}}}\to N(0,1)}$ по распределению при ${\displaystyle k\to \infty }$.

Связь с другими распределениями

• Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ независимые нормальные случайные величины, то есть: ${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots ,k;\;\mu }$ известно, то случайная величина

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

имеет распределение ${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$.

• Если ${\displaystyle k=2}$, то распределение хи-квадрат совпадает с экспоненциальным распределением:

${\displaystyle \chi ^{2}(2)\equiv \mathrm {Exp} (1/2)}$.

• Если ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(2k)}$, тогда ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)}$ — распределение Эрланга.
• Если ${\displaystyle Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$ и ${\displaystyle Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})}$, то случайная величина

${\displaystyle F={\frac {Y_{1}/k_{1}}{Y_{2}/k_{2}}}}$

имеет распределение Фишера со степенями свободы ${\displaystyle (k_{1},k_{2})}$.

• ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$ (нецентральное хи-квадрат распределение с параметром нецентральности ${\displaystyle \lambda =0}$)
• Если ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\nu )\,}$ и ${\displaystyle c>0\,}$, тогда ${\displaystyle cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,}$. (гамма-распределение)
• Если ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$, тогда ${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \chi _{k}}$ (хи распределение)
• Если ${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,}$ (распределение Рэлея), тогда ${\displaystyle X^{2}\sim \chi ^{2}(2)\,}$
• Если ${\displaystyle X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,}$ (распределение Максвелла), тогда ${\displaystyle X^{2}\sim \chi ^{2}(3)\,}$
• Если ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\nu _{1})\,}$ и ${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(\nu _{2})\,}$ независимы, тогда ${\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}}{2}})\,}$ — (бета-распределение)
• Если ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)\,}$ — (равномерное распределение), тогда ${\displaystyle -2\log(X)\sim \chi ^{2}(2)\,}$
• ${\displaystyle \chi ^{2}(6)\,}$ — преобразование распределения Лапласа
• Если ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,}$, тогда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi ^{2}(2n)\,}$
• хи-квадрат распределение — преобразование распределения Парето
• t-распределение — преобразование распределения хи-квадрат
• t-распределение может быть получено из распределения хи-квадрат и нормального распределения
• Если ${\displaystyle X_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$ и ${\displaystyle X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})}$ — независимы, тогда ${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})}$. Если ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ не являются независимыми, тогда ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ не обязано быть распределено по закону хи-квадрат.

Вариации и обобщение

Дальнейшим обобщением распределения хи-квадрат является так называемое нецентральное распределение хи-квадрат^[англ.], возникающее в некоторых задачах статистики.

Квантили

Основная статья: Квантили распределения хи-квадрат

Квантиль — это число (аргумент), на котором функция распределения равна заданной, требуемой вероятности. Грубо говоря, квантиль — это результат обращения функции распределения, но есть тонкости с разрывными функциями распределения.

История

Критерий ${\displaystyle \chi ^{2}}$ был предложен Карлом Пирсоном в 1900 году^[1]. Его работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привёл несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в Монте-Карло в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 10²⁹.

Общее обсуждение критерия ${\displaystyle \chi ^{2}}$ и обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена^[2].

Приложения

Распределение хи-квадрат имеет многочисленные приложения при статистических выводах, например при использовании критерия хи-квадрат и при оценке дисперсий. Оно используется в проблеме оценивания среднего нормально распределённой популяции и проблеме оценивания наклона линии регрессии благодаря его роли в распределении Стьюдента. Оно используется в дисперсионном анализе.

Далее приведены примеры ситуаций, в которых распределение хи-квадрат возникает из нормальной выборки:

• если ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ — независимые и одинаково распределенные по закону ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ случайные величины, тогда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}}$, где ${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.}$
• В таблице показаны некоторые статистики, основанные на ${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,...,k}$ независимых случайных величин, распределения которых связаны с распределением хи-квадрат:

Название	Статистика
распределение хи-квадрат	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
нецентральное распределение хи-квадрат	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
распределение хи	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
нецентральное распределение хи	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Таблица значений .mw-parser-output .ts-math{white-space:nowrap;font-family:times,serif,palatino linotype,new athena unicode,athena,gentium,code2000;font-size:120%}χ2 и p-значений

Для любого числа p между 0 и 1 определено p-значение — вероятность получить для данной вероятностной модели распределения значений случайной величины такое же или более экстремальное значение статистики (среднего арифметического, медианы и др.), по сравнению с наблюдаемым, при условии верности нулевой гипотезы. В данном случае это распределение ${\displaystyle \chi ^{2}}$. Так как значение функции распределения в точке для соответствующих степеней свободы дает вероятность получить значение статистики менее экстремальное, чем эта точка, p-значение можно получить, если отнять от единицы значение функции распределения. Малое p-значение — ниже выбранного уровня значимости — означает статистическую значимость. Этого будет достаточно, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Чтобы различать значимые и незначимые результаты, обычно используют уровень 0,05.

В таблице даны p-значения для соответствующих значений ${\displaystyle \chi ^{2}}$ у первых десяти степеней свободы.

Степени свободы (df)	Значение ${\displaystyle \chi ^{2}}$[3]
1	0,004	0,02	0,06	0,15	0,46	1,07	1,64	2,71	3,84	6,63	10,83
2	0,10	0,21	0,45	0,71	1,39	2,41	3,22	4,61	5,99	9,21	13,82
3	0,35	0,58	1,01	1,42	2,37	3,66	4,64	6,25	7,81	11,34	16,27
4	0,71	1,06	1,65	2,20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	13,28	18,47
5	1,14	1,61	2,34	3,00	4,35	6,06	7,29	9,24	11,07	15,09	20,52
6	1,63	2,20	3,07	3,83	5,35	7,23	8,56	10,64	12,59	16,81	22,46
7	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12,02	14,07	18,48	24,32
8	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,03	13,36	15,51	20,09	26,12
9	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34	10,66	12,24	14,68	16,92	21,67	27,88
10	3,94	4,87	6,18	7,27	9,34	11,78	13,44	15,99	18,31	23,21	29,59
p-значение	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,01	0,001

Эти значения могут быть вычислены через квантиль (обратную функцию распределения) распределения хи-квадрат^[4]. Например, квантиль ${\displaystyle \chi ^{2}}$ для p = 0,05 и df = 7 дает ${\displaystyle \chi ^{2}}$=14,06714 ≈ 14,07, как в таблице сверху. Это означает, что для экспериментального наблюдения семи независимых случайных величин ${\displaystyle x_{1},...,x_{7}}$ при справедливости нулевой гипотезы «каждая величина описывается нормальным стандартным распределением с медианой 0 и стандартным отклонением 1» значение ${\displaystyle x_{1}^{2}+...+x_{7}^{2}>14{,}07}$ можно получить лишь в 5 % реализаций. Получение большего значения обычно можно считать достаточным основанием для отбрасывания этой нулевой гипотезы.

В таблице дано округление до сотых; более точные таблицы для большего количества степеней свободы см., например, здесь^[5].

См. также

• Критерий согласия Пирсона (критерий ${\displaystyle \chi ^{2}}$)