Геометрия в целом

Геоме́трия в це́лом (глобальная геометрия) (англ. geometry in large; нем. Geometrie im Großen^[1]) — раздел геометрии, изучающий полный геометрический образ, например: всю кривую, всю поверхность, всё пространство, всё векторное поле, всё тензорное поле, всё отображение одного геометрического образа или всего поля геометрического объекта на другое^[1][2].

Обезьянье седло

Учитывая, что геометрические объекты могут быть регулярными и нерегулярными, определение геометрии в целом можно также сформулировать следующим образом: геометрия в целом — раздел геометрии, в которой геометрические фигуры (кривые, поверхности и другие) исследуются на всём их протяжении при допущении нерегулярности и локальных особенностей^[3].

Краткая история

Сам термин «геометрия в целом» впервые появился в математической литературе на немецком языке (нем. Geometrie im Großen) в начале XX века, причём вместе с термином «геометрия в малом (локальная геометрия^[4])»^[5], в связи с противопоставлением этих двух геометрий. Подходы прежней геометрии в малом оказались неэффективны для геометрии в целом. Сам термин «геометрия в целом» в математических исследованиях не используется, когда нет указанного противопоставления, и сразу, без этого термина, рассматриваются исключительно объекты в целом (например, в элементарной геометрии, в топологии многообразий)^[6][2].

Геометрические фигуры могут быть регулярными, то есть задающимися достаточно хорошими уравнениями, и нерегулярными. В первом случае регулярных геометрических фигур исследования проводятся в рамках дифференциальной геометрии. Это дифференциальное направление геометрии в целом основали и развили выдающиеся математики Дарбу, Гильберт, Минковский, Вейль, Кон-Фоссен и другие^[4].

Во втором случае нерегулярных геометрических фигур первый результат был получен в 1813 году Коши, который доказал теорему об однозначной определенности метрикой выпуклых многогранников. Затем в 1897 году Минковский доказал следующую теорему единственности. Глубокие исследования вопросов нерегулярной геометрии в целом начались только в 1927—1936 годах с работ Кон-Фоссена. В дальнейшем в 1941—1948 годах А. Д. Александров развивает внутреннюю геометрию общих выпуклых поверхностей. Далее в 1948—1969 годах А. В. Погорелов создал внешнюю геометрию выпуклых поверхностей, а также получил решение ряда крупнейших геометрических проблем; например, в 1948 году он доказал одну из центральных теорем геометрии в целом — об однозначной определенности метрикой произвольных выпуклых поверхностей, обобщающую теорему Александрова о развёртке, которая, в свою очередь, обобщает теорему Коши^[4].

Геометрия в целом и геометрия в малом

Геометрия в целом противопоставляется геометрии в малом (локальной геометрии) — геометрии, в которой геометрический образ (например, поле, отображение) исследуются лишь в достаточно малых областях, как, например, в классической дифференциальной геометрии^[6].

Качественные отличия свойств в целом от свойств в малом проявляются, например, в следующих направлениях^[7]:

• жёсткость, изгибаемость, изометричные погружения поверхностей (например, локальная область выпуклой поверхности изгибаема с сохранением выпуклости, а вся поверхность выпуклого тела так не изгибаема);
• поведение геодезических линий (например, в малой области две точки гладкой поверхности соединимы единственной геодезической, а на всей замкнутой поверхности — бесконечным числом геодезических);
• задание метрики с определенными свойствами на многообразиях (например, метрику везде положительной кривизны можно задать на полной поверхности, гомеоморфной только сфере, плоскости или проективной плоскости).

Описанные качественные отличия породили самостоятельные теории, например^[7]:

• риманова геометрия в целом;
• вариационное исчисление в целом.

Регулярная и нерегулярная геометрия в целом

Получены качественные и количественные результаты в целом для регулярных геометрических структур, то есть на лишенных особенностей многомерных многообразиях, в результате развития современной дифференциальной геометрии^[7].

Однако особенности обычно возникают, например, в следующих случаях^[7]:

• при продолжении гладких погруженных многообразий или полей на них;
• при достижении решения экстремальных задач.

Именно поэтому многие проблемы геометрии в целом более естественно возникают в классах, включающих нерегулярные объекты, что приводит к созданию не дифференциально-геометрических подходов. Исследования в целом и исследования особенностей были объединены и развиты для двумерных поверхностей геометрической школой А. Д. Александрова, Н. В. Ефимова, А. В. Погорелова, в которой и получены наиболее законченные результаты в теории поверхностей^[7].