Гипербола Киперта

Гипе́рбола Ки́перта — гипербола, определяемая по данному треугольнику. Если последний представляет собой треугольник общего положения, то эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через его вершины, ортоцентр и центроид.

Гипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола Киперта проходит через вершины (A, B, C), ортоцентр (H) и центроид (G) треугольника.

Определение через изогональное сопряжение

Гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через точку Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника.

• Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония. Иначе говоря, гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая оси Брокара данного треугольника.

Определение через треугольники в трилинейных координатах

Точка на гиперболе Киперта.

Определение через треугольники в трилинейных координатах^[1]:

Если три треугольника ${\displaystyle XBC}$, ${\displaystyle YCA}$ и ${\displaystyle ZAB}$ построены на сторонах треугольника ${\displaystyle ABC}$, являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все они построены либо с внешней стороны, либо с внутренней стороны), то прямые ${\displaystyle AX}$, ${\displaystyle BY}$ и ${\displaystyle CZ}$ пересекаются в одной точке ${\displaystyle N}$. Тогда гипербола Киперта может быть определена виде геометрического места точек ${\displaystyle N}$ (см. рис.).

Если общий угол при основании равен ${\displaystyle \theta }$, то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты:

• ${\displaystyle X(-\sin \theta$ :\sin(C+\theta ):\sin(B+\theta ))}
• ${\displaystyle Y(\sin(C+\theta ):-\sin \theta$ :\sin(A+\theta ))}
• ${\displaystyle Z(\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta ):-\sin \theta )}$

Трилинейные координаты произвольной точки N, лежащей на гиперболе Киперта

${\displaystyle (\operatorname {cosec} (A+\theta ):\operatorname {cosec} (B+\theta ):\operatorname {cosec} (C+\theta ))}$.

Уравнение гиперболы Киперта в трилинейных координатах

Геометрическое место точек ${\displaystyle N}$ при изменении угла при основании треугольников ${\displaystyle \theta }$ между ${\displaystyle -\pi /2}$ и ${\displaystyle \pi /2}$ является гиперболой Киперта с уравнением

${\displaystyle {\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0}$,

где ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ — трилинейные координаты точки ${\displaystyle N}$ в треугольнике.

Известные точки, лежащие на гиперболе Киперта

Среди точек, лежащих на гиперболе Киперта, имеются такие важные точки треугольника^[2]:

Значение ${\displaystyle \theta }$	Точка ${\displaystyle N}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle G}$, центроид треугольника ${\displaystyle ABC}$ (X2)
${\displaystyle \pi /2}$ (или ${\displaystyle -\pi /2}$)	${\displaystyle O}$, ортоцентр треугольника ${\displaystyle ABC}$ (X4)
${\displaystyle \operatorname {arctg} [\operatorname {tg} (A/2)\operatorname {tg} (B/2)\operatorname {tg} (C/2)]}$[3]	Центр Шпикера (X10)
${\displaystyle \pi /4}$	Внешняя точка Вектена (Vecten points) (X485)
${\displaystyle -\pi /4}$	Внутренняя точка Вектена (Vecten points) (X486)
${\displaystyle \pi /6}$	${\displaystyle N_{1}}$, первая точка Наполеона (X17)
${\displaystyle -\pi /6}$	${\displaystyle N_{2}}$, вторая точка Наполеона (X18)
${\displaystyle \pi /3}$	${\displaystyle F_{1}}$, первая точка Ферма (X13)
${\displaystyle -\pi /3}$	${\displaystyle F_{2}}$, вторая точка Ферма (X14)
${\displaystyle -A}$ (если ${\displaystyle A<\pi /2}$) ${\displaystyle \pi -A}$ (если ${\displaystyle A>\pi /2}$)	Вершина ${\displaystyle A}$
${\displaystyle -B}$ (если ${\displaystyle B<\pi /2}$) ${\displaystyle \pi -B}$ (если ${\displaystyle B>\pi /2}$)	Вершина ${\displaystyle B}$
${\displaystyle -C}$ (если ${\displaystyle C<\pi /2}$) ${\displaystyle \pi -C}$ (если ${\displaystyle C>\pi /2}$)	Вершина ${\displaystyle C}$

Перечень точек, лежащих на гиперболе Киперта

Гипербола Киперта проходит через следующие центры треугольника X(i)^[3]:

• для i=2, (Центроид треугольника),
• i=4 (Ортоцентр),
• i=10 (Центр Шпикера; то есть, инцентр треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника ABC^[1]),
• i=13 (первая точка Ферма), i=14 (вторая точка Ферма),
• i=17 (первая точка Наполеона), i=18 (вторая точка Наполеона),
• i=76 (третья точка Брокара),
• i=83 (точка, изогонально сопряжённая серединной точке между точками Брокара^[1]),
• i=94, 96,
• i=98 (Точка Тарри=Tarry point),
• i=226, 262, 275, 321,
• i=485 (Внешняя точка Вектена), i=486 (Внутренняя точка Вектена),
• i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
• i=1139 (внутренняя точка пятиугольника=inner pentagon point), i=1140 (внешняя точка пятиугольника=outer pentagon point),
• i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
• i=2671 (первая точка золотого арбелоса=first golden arbelos point),
• i=2672 (вторая точка золотого арбелоса=second golden arbelos point),
• i=2986, 2996

Обобщение теоремы Лестера в виде теоремы Б. Гиберта (2000)

Теорема Б. Гиберта (2000) обобщает теорему об окружности Лестера, а именно: любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма^[4][5].

История

Название данная гипербола получила в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846—1934)^[1].

Свойства

• Гипербола Киперта — равносторонняя или равнобочная (то есть её асимптоты перпендикулярны), следовательно, её центр, обозначенный в энциклопедии центров треугольника как Х(115), лежит на окружности Эйлера.

См. также

• Треугольник
• Парабола Киперта