Точки Вектена

В планиметрии внешняя и внутренняя точки Вектена — точки, которые строятся на основе данного треугольника аналогично первой и второй точкам Наполеона. Однако для построения выбираются центры не равносторонних треугольников, а квадратов, построенных на сторонах данного треугольника (см. рис.).

Точки Вектена
Внешняя и внутренняя точки Вектена
Барицентрические координаты	${\displaystyle \sin \alpha \cdot \sec \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:}$ ${\displaystyle \sin \beta \cdot \sec \left(\beta \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:}$ ${\displaystyle \sin \gamma \cdot \sec \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{4}}\right)}$ (знак «+» для внешней, знак «-» для внутренней)
Трилинейные координаты	${\displaystyle \sec \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:\,\sec \left(\beta \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:\,\sec \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{4}}\right)}$ (знак «+» для внешней, знак «-» для внутренней)
Код ЭЦТ	внешняя: X(485) внутренняя: X(486)

Внешняя точка Вектена

Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB наружу построим три квадрата соответственно с центрами ${\displaystyle O_{a},O_{b},O_{c}}$. Тогда линии ${\displaystyle AO_{a},BO_{b}}$ и ${\displaystyle CO_{c}}$ пересекаются в одной точке, называемой внешней точкой Вектена треугольника ABC.

В Энциклопедии центров треугольника внешняя точка Вектена обозначается как X(485)^[1].

История

Внешняя точка Вектена названа так в начале 19-го века в честь французского математика Вектена, который изучал математику в одно время с Жергонном (Joseph Diaz Gergonne) в Ниме (Nîmes) и опубликовал своё исследование о фигуре в виде трех квадратов, построенной на трех сторонах треугольника в 1817-м году^[2]. По другим данным, это произошло в 1812/1813 годах. При этом ссылаются на работу^[3].

Внутренняя точка Вектена

Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB вовнутрь построим три квадрата соответственно с центрами ${\displaystyle I_{a},I_{b},I_{c}}$. Тогда линии ${\displaystyle AI_{a},BI_{b}}$ и ${\displaystyle CI_{c}}$ пересекаются в одной точке, называемой внутренней точкой Вектена треугольника ABC. В Энциклопедии центров треугольника внутренняя точка Вектена обозначается как X(486)^[1].

Прямая ${\displaystyle X(485)X(486)}$ пересекает прямую Эйлера в Центре девяти точек треугольника ${\displaystyle ABC}$. Точки Вектена лежат на гиперболе Киперта.

Положение на гиперболе Киперта

Координаты внешней и внутренней точек Вектена получаются из уравнения гиперболы Киперта при значениях угла ${\displaystyle \theta }$ при основаниях треугольников соответственно π/4 и -π/4.

Ассоциации

Рисунок выше для построения внешней точки Вектена в случае, если оно проводится для прямоугольного треугольника совпадает с рисунком одного из доказательств теоремы Пифагора (см. на рис. ниже так называемые пифагоровы штаны).

Пифагоровы штаны. Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе ${\displaystyle c}$

Пифагоровы штаны. Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности ${\displaystyle \triangle ACK\cong \triangle ABD}$, площадь которых составляет половину площади прямоугольников ${\displaystyle AHJK}$ и ${\displaystyle ACED}$ соответственно.

См. также

• Точки Наполеона — пара треугольных центров, построенных аналогичным образом с использованием равносторонних треугольников вместо квадратов