Гиперболичность в смысле Громова

Гиперболичность в смысле Громова или ${\displaystyle \delta }$-гиперболичность — глобальная характеристика метрического пространства, грубо говоря, напоминающая отрицательность кривизны; в частности пространство Лобачевского гиперболично в смысле Громова.

Гиперболичность в смысле Громова в основном применяется в геометрической теории групп. Она даёт удобную геометрическую интерпретацию для групп малого сокращения^[англ.].

Определение

Пространство ${\displaystyle X}$ является ${\displaystyle \delta }$-гиперболичным если для любых точек ${\displaystyle x,y,z\in X}$ выполнялось

${\displaystyle (x,z)_{p}\geqslant \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta ,}$

где ${\displaystyle (x,y)_{p}}$ обозначает произведение Громова:

${\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}|x-y|_{X}+|x-z|_{X}-|y-z|_{X}{\big )}.}$

Последнее неравенество эквивалентно выполнению

${\displaystyle |p-q|_{X}+|x-y|_{X}\leqslant \max\{|p-x|_{X}+|q-y|_{X},|p-y|_{X}+|q-x|_{X}\}+2\cdot \delta }$

для любых точек ${\displaystyle p,q,x,y\in X}$.

Есть много других определений (иногда отличающихся изменением ${\displaystyle \delta }$ в несколько раз). Например следующее: если пространство ${\displaystyle X}$ геодезическое, то это условие эквивалентно тому, что для любых точек x, y, z пространства отрезок геодезической [xy] лежит в ${\displaystyle \delta }$-окрестности объединения [xz] и [yz]. Иными словами — на кратчайшей [xy] найдётся точка t такая, что [xt] лежит в ${\displaystyle \delta }$-окрестности [xz], а [ty] лежит в ${\displaystyle \delta }$-окрестности [zy].

Свойства

• Гиперболичность является инвариантом квазиизометричных преобразований. Благодаря этому, гиперболичность группы не зависит от выбора системы образующих, использованной для задания словарной метрики.
• Если пространство содержит изометричную копию ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, оно не может быть гиперболичным. В частности, декартово произведение почти никогда^{[прояснить]} не может быть гиперболическим.
• Инъективная оболочка ${\displaystyle \delta }$-гиперболического пространства ${\displaystyle \delta }$-гиперболическая.^[1]
  • В частности, любое ${\displaystyle \delta }$-гиперболическое пространство изометрично подмножеству в геодезическом ${\displaystyle \delta }$-гиперболическом пространстве.

Примеры

• Любое компактное пространство гиперболично.
• Любое дерево является 0-гиперболическим пространством.
• Плоскость Лобачевского гиперболична в смысле Громова. Полагая, что кривизна равна ${\displaystyle -1}$ плоскость Лобачевского является ${\displaystyle \ln(2)}$-гиперболической (в смысле четырёхточеного определения).
  • Более того, любое ${\displaystyle \mathrm {CAT} (-1)}$ пространство ${\displaystyle \ln(2)}$-гиперболично.