Голоморфная выпуклость

Обзорная статья: Характеристика областей голоморфности

Голомо́рфная вы́пуклость (англ. holomorphic convexity^[1], от др.-греч. ὅλος — весь и др.-греч. μορφή — форма, образ^[2]) области комплексного пространства — понятие комплексного анализа, раздела математики, связанное с невозможностью коснуться границы области изнутри аналитической поверхностью. Это частный максимальный случай К-выпуклости^[3]: произвольная К-выпуклая область всегда голоморфно выпукла^[4].

Синоним: аналитическая выпуклость^[5].

Голоморфная выпуклость обобщает более наглядное понятие обычной геометрической выпуклости, но при этом доставляет необходимое и достаточное условие для областей голоморфности^[6][7].

Определение голоморфной выпуклости

Голоморфная выпуклость — свойство области ${\displaystyle D\in \mathbb {C} ^{n}}$ такое, что для произвольного множества ${\displaystyle A}$, компактно принадлежащего ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle A\Subset D}$, множество

${\displaystyle F_{A}\equiv \bigcup \limits _{f\in H_{D}}\{z\in \mathbb {C} \colon \,|f(z)|\leqslant \sup \limits _{z\in A}|f(z)|,\,z\in D\}}$

компактно в ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle F_{A}\Subset D}$. Другими словами, область ${\displaystyle D\in \mathbb {C} ^{n}}$ называется голоморфно выпуклой, когда для любого множества ${\displaystyle A}$, компактно принадлежащего ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle A\Subset D}$, существует такое множество ${\displaystyle F_{A}}$, ${\displaystyle A\subset F_{A}\Subset D}$, что для произвольной точки ${\displaystyle z^{0}\in D\setminus F_{A}}$ найдется такая функция ${\displaystyle f}$, голоморфная в области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle f\in H_{D}}$, что выполняется следующее неравенство^[8]:

${\displaystyle \sup \limits _{z\in A}|f(z)|<|f(z^{0})|}$.

Выпуклая оболочка невыпуклоЙ области

Альтернативное определение. Голоморфно выпуклая оболочка произвольного множества ${\displaystyle A\subset D}$ — множество точек

${\displaystyle F_{A}=\{z^{0}\in D\colon \,|f(z^{0})|\leqslant \sup \limits _{z\in A}|f(z)|\}}$,

где данное неравенство верно для всех функций ${\displaystyle f}$, голоморфных в области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle f\in H_{D}}$. Область ${\displaystyle D\in \mathbb {C} ^{n}}$ называется голоморфно выпуклой, когда голоморфно выпуклая оболочка ${\displaystyle F_{A}}$ любого множества ${\displaystyle A}$, компактно принадлежащего ${\displaystyle D}$, также компактно принадлежит ${\displaystyle D}$^[9][10]:

${\displaystyle A\Subset D\Rightarrow F_{A}\Subset D}$.

Такие определения голоморфно выпуклой области хороши тем, что с их помощью можно определять голоморфную выпуклость, не выходя за пределы области. Очевидно, что для линейных голоморфных функций голоморфная выпуклость совпадает с обычной геометрической выпуклостью. Для иллюстрации на рисунке справа продемонстрировано, каким образом обычная невыпуклость области нарушает условие ${\displaystyle A\Subset D\Rightarrow F_{A}\Subset D}$^[11].

Характеристика области голоморфности

Достаточность области голоморфности

Теорема 1. Условие голоморфной выпуклости области комплексного пространства необходимо и достаточно для того, чтобы она была областью голоморфности^[12][7].

Но эта характеристика менее наглядна и эффективно проверяемая, чем условие обычной геометрической выпуклости. Теория субгармонических функций позволяет обосновать другую трактовку характеристики области голоморфности, которая более геометрична и позволяет определить эффективные критерии областей голоморфности^[12].

Достаточность утверждения теоремы формулируется в виде следующей теоремы^[13].

Теорема 2 (Картан и Туллен). Любая голоморфно выпуклая область ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ есть область голоморфности^[14].

Доказательство^[15]

1. Нумерация счётного множества. Всегда имеется не более чем счётное множество точек из ${\displaystyle \partial D}$, всюду плотное на ${\displaystyle {\{P\}}}$, причём функция, неограниченная в точках такого не более чем счётном множестве, будет также неограниченноё и на всём произвольном множестве ${\displaystyle \{P\}}$. Следовательно, ${\displaystyle \{P\}}$ можно считать тоже не более чем счётным, и тогда можно построить такую последовательность точек ${\displaystyle P_{k}\in \{P\}}$, что в ней любая точка из ${\displaystyle \{P\}}$ встречается бесконечное количество раз. Например, построим следующую последовательность:

${\displaystyle P_{1};\,P_{1},\,P_{2};\,P_{1},\,P_{2},\,P_{3};\,\dots ,}$

где ${\displaystyle P_{1},\,P_{2},\,P_{3},\,\dots }$ — пронумерованные точки из ${\displaystyle \{P\}}$. Теорема будет доказана, если найдётся такая голоморфная в области ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle f}$ и такая последовательность точек ${\displaystyle Q_{k}\in D}$, что

${\displaystyle |Q_{k}-P_{k}|\to 0}$, ${\displaystyle f(Q_{k})\to \infty }$, ${\displaystyle k\to \infty }$,

поскольку каждая точка ${\displaystyle P\in \{P\}}$ встречается в построенной последовательности бесконечное число раз, и всегда можно будет выделить из ${\displaystyle Q_{k}}$ такую подпоследовательность ${\displaystyle Q'_{k}}$, что ${\displaystyle Q'_{k}\to P}$, а ${\displaystyle f(Q'_{k})\to \infty }$.