Неограниченная функция в граничной точке

Неограни́ченная фу́нкция в грани́чной то́чке^[1] ${\displaystyle P}$ — понятие комплексного анализа, раздела математики, аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$, заданная в области ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ с некоторой граничной точкой ${\displaystyle P\in \partial D}$ такой, что найдётся последовательность точек области ${\displaystyle Q_{n}\in D}$ такая, что ${\displaystyle Q_{n}\to P}$ и ${\displaystyle |f(Q_{n})|\to \infty }$^[2][3].

Замечание 1. Русская и английская математическая традиция передаёт это понятие словесно одинаковыми достаточно длинными терминами: неограниченная функция в граничной точке^[2][3] (англ. unbounded function at a boundary point^[4]).

Барьер, или граничное свойство^[1], граничной точки ${\displaystyle P\in \partial D}$ области ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ — голоморфная в области ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle g}$ такая, что для любого множества ${\displaystyle K}$, компактного в ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle K\Subset D}$, и любого ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \|g\|_{K}=\max \limits _{z\in K}\leqslant 1}$,

но при этом найдётся такая точка в окрестности ${\displaystyle z\in U(P,\,\epsilon )}$ точки ${\displaystyle P}$, что ${\displaystyle |g(z)|>1}$^[3][2], другими словами, функцию ${\displaystyle g}$ нельзя голоморфно продолжить в точку ${\displaystyle P}$^[5][6].

Замечание 2. Русская математическая традиция передаёт это понятие в терминах функции-барьера, определённой для данной граничной точки: барьер^[3][5][6], тогда как английская математическая традиция — в терминах свойства данной граничной точки: граничное свойство^[2] (англ. frontier property^[4]). В этой статье использована русская математическая традиция^[3][5][6].

Теорема 1. Если функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в области ${\displaystyle D}$ и неограниченна в точке ${\displaystyle P\in \partial D}$, то в точке ${\displaystyle P}$ имеется барьер^[7][2].

Доказательство. Действительно, для любого множества ${\displaystyle K}$, компактного в ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle K\Subset D}$, и для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ имеется функция-барьер ${\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{\|f\|_{K}}}}$^[7][2].

Верно не только утверждение, обратное к предыдущему, но и следующее гораздо более сильное предложение^[2][7].

Теорема 2. Если все точки любого множества ${\displaystyle \{P\}\subset \partial D}$ имеют барьер, то найдется функция, голоморфная в области ${\displaystyle D}$ и неограниченная во всех точках ${\displaystyle \{P\}}$^[2][7].

Доказательство^[8][9]

1. Нумерация счётного множества. Всегда имеется не более чем счётное множество точек из ${\displaystyle \partial D}$, всюду плотное на ${\displaystyle {\{P\}}}$, причём функция, неограниченная в точках такого не более чем счётного множества, будет также неограниченной и на ${\displaystyle \{P\}}$. Следовательно, ${\displaystyle \{P\}}$ можно считать тоже не более чем счётным, и тогда можно построить такую последовательность точек ${\displaystyle P_{k}\in \{P\}}$, что в ней любая точка из ${\displaystyle \{P\}}$ встречается бесконечное количество раз. Например, построим следующую последовательность:

${\displaystyle P_{1};\,P_{1},\,P_{2};\,P_{1},\,P_{2},\,P_{3};\,\dots ,}$

где ${\displaystyle P_{1},\,P_{2},\,P_{3},\,\dots }$ — пронумерованные точки из ${\displaystyle \{P\}}$. Теорема будет доказана, если найдётся такая голоморфная в области ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle f}$ и такая последовательность точек ${\displaystyle Q_{k}\in D}$, что

${\displaystyle |Q_{k}-P_{k}|\to 0}$, ${\displaystyle f(Q_{k})\to \infty }$, ${\displaystyle k\to \infty }$,

поскольку каждая точка ${\displaystyle P\in \{P\}}$ встречается в построенной последовательности бесконечное число раз, и всегда можно будет выделить из ${\displaystyle Q_{k}}$ такую подпоследовательность ${\displaystyle Q'_{k}}$, что ${\displaystyle Q'_{k}\to P}$, а ${\displaystyle f(Q'_{k})\to \infty }$.

2. Построение компактов. Построим по индукции три последовательности:

1) возрастающую последовательность компактов ${\displaystyle R_{k}\Subset D}$, которые исчерпывают область ${\displaystyle D}$, то есть

${\displaystyle \bigcup \limits _{k=1}^{\infty }R_{k}=D}$;

2) последовательность точек ${\displaystyle Q_{k}\in D}$, удовлетворяющих условию

${\displaystyle |Q_{k}-P_{k}|<{\frac {1}{k}}}$;

3) последовательность голоморфных на ${\displaystyle D}$ функций ${\displaystyle f_{k}}$, удовлетворяющих условию

${\displaystyle \|f_{k}\|_{R_{k}}\leqslant 1,\quad |f_{k}(Q_{k})|>1}$.

База индукции. Пусть ${\displaystyle R_{1}}$ — любой компакт ${\displaystyle R_{1}\Subset D}$. По определению барьера в точке ${\displaystyle P_{1}}$ отыщем голоморфную на ${\displaystyle D}$ функцию ${\displaystyle f_{1}}$ и точку ${\displaystyle Q_{1}\in D}$ такие, что

${\displaystyle |Q_{1}-P_{1}|<1,\quad |f_{1}(Q_{1})|>1\geqslant \|f_{1}\|_{R_{1}}}$.

Шаг индукции. Пусть построение выполнено для всех ${\displaystyle m\geqslant k-1}$. Сконструируем компакт (здесь ${\displaystyle \rho }$ — расстояние в поликруговой ${\displaystyle \rho }$-метрике)

${\displaystyle R_{k}=R_{k-1}\cup \{Q\in D\colon \,\rho (Q,\,\partial D)\geqslant {\frac {1}{k}},\,|Q|\leqslant k\}\cup \{Q_{1},\,\dots ,\,Q_{k-1}\}}$

и затем по определению барьера в точке ${\displaystyle P_{k}}$ отыщем голоморфную на ${\displaystyle D}$ функцию ${\displaystyle f_{k}}$ и точку ${\displaystyle Q_{k}\in D}$ такие, что

${\displaystyle |Q_{k}-P_{k}|<{\frac {1}{k}},\quad \|f_{k}\|_{R_{k}}\leqslant 1,\quad |f_{k}(Q_{k})|>1}$,

тем самым доказав возможность нашего построения.

3. Построение искомой функции. Так как ${\displaystyle |f_{k}(Q_{k})|>1}$, сконструируем, начиная с ${\displaystyle l_{1}}$, последовательность натуральных чисел ${\displaystyle l_{k}}$, для которой выполняется неравенство

${\displaystyle {\frac {1}{m^{2}}}|f_{m}(Q_{m})|^{l_{m}}\geqslant \sum \limits _{k=1}^{m-1}{\frac {1}{k^{2}}}|f_{k}(Q_{m})|^{l_{k}}+m,\quad m\geqslant 2}$,

и построим функцию в виде функционального ряда

${\displaystyle f(Q)=\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}(f_{k}(Q))^{l_{k}}}$,

который равномерно сходится на ${\displaystyle R_{m}}$, так как для произвольного ${\displaystyle Q\in R_{m}}$ всегда ${\displaystyle |f_{k}(Q)|\leqslant 1}$ при ${\displaystyle k\geqslant m}$. Компакты ${\displaystyle R_{m}}$ компактно исчерпывают область ${\displaystyle D}$, следовательно, этот ряд сходится всюду, и по теореме Вейерштрасса его сумма ${\displaystyle f}$ есть голоморфная функция в области ${\displaystyle D}$. Кроме того, ${\displaystyle f(Q_{m})\to \infty }$, поскольку

${\displaystyle |f(Q_{m})|\geqslant {\frac {1}{m^{2}}}|f_{m}(Q_{m})|^{l_{m}}-\sum \limits _{k=1}^{m-1}{\frac {1}{k^{2}}}|f_{k}(Q_{m})|^{l_{k}}-}$

${\displaystyle {}-\sum \limits _{k=m+1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\geqslant m-\sum \limits _{k=m+1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}},\quad m=1,\,2,\,\dots }$