Граф Мёбиуса — Кантора

Граф Мёбиуса — Кантора — симметричный двудольный кубический граф с 16 вершинами и 24 рёбрами, названный в честь Августа Фердинанда Мёбиуса и Зелигмана Кантора (1857—1903). Его можно определить как обобщённый граф Петерсена ${\displaystyle G(8,3)}$, то есть он образован вершинами восьмиугольника, соединёнными с восьмиугольной звездой, в которой каждая точка соединена с третьей по счёту точкой.

Граф Мёбиуса – Кантора
Назван в честь	Август Фердинанд Мёбиус и З. Кантор
Вершин	16
Рёбер	24
Радиус	4
Диаметр	4
Обхват	6
Автоморфизмы	96
Хроматическое число	2
Хроматический индекс	3
Род	1
Свойства	симметричный гамильтонов двудольный кубический единичных расстояний граф Кэли совершенный просто ориентируем

Конфигурация Мёбиуса — Кантора

Основная статья: Конфигурация Мёбиуса–Кантора

Конфигурация Мёбиуса-Кантора

Мёбиус в 1828 году^[1] поставил вопрос о существовании пары многоугольников с ${\displaystyle p}$ сторонами в каждом, обладающих свойством, что вершины одного многоугольника лежат на прямых, проходящих через стороны другого, и наоборот. Если такая пара существует, то вершины и стороны этих многоугольников должны образовывать проективную конфигурацию. Для ${\displaystyle p=4}$ не существует решения на евклидовой плоскости, но в 1882 году Кантор^[2] нашёл пару многоугольников такого типа в обобщении задачи, в котором точки и рёбра принадлежат комплексной проективной плоскости, то есть в решении Кантора координатами вершин многоугольника являются комплексные числа. Решение Кантора для ${\displaystyle p=4}$ — пара взаимно вписанных четырёхугольников на комплексной проективной плоскости, называется конфигурацией Мёбиуса — Кантора. Граф Мёбиуса — Кантора получил своё имя от конфигурации Мёбиуса — Кантора, поскольку он является графом Леви этой конфигурации. Граф имеет одну вершину для каждой точки конфигурации и по точке для каждой тройки, а рёбра соединяют две вершины, если одна вершина соответствует точке, а другая — тройке, содержащей эту точку.

Связь с гиперкубом

Граф Мёбиуса — Кантора является подграфом четырёхмерного графа гиперкуба и образован путём удаления восьми рёбер из гиперкуба^[3]. Поскольку гиперкуб является графом единичных расстояний, граф Мёбиуса — Кантора можно тоже изобразить на плоскости со всеми сторонами единичной длины, хотя такое представление приведёт к появлению перекрещивающихся рёбер.

Топология

Граф Мёбиуса — Кантора, вложенный в тор. Рёбра, выходящие вверх из центрального квадрата следует рассматривать соединёнными с соответствующими рёбрами, выходящими из квадрата вниз, а выходящие из квадрата рёбра слева следует рассматривать соединёнными с соответствующими рёбрами, выходящими из квадрата вправо.

Граф Мёбиуса — Кантора нельзя вложить в плоскость без пересечений, его число скрещиваний равно 4, и он является наименьшим кубическим графом с таким числом скрещиваний^[4]. Кроме того, граф даёт пример графа, все подграфы которого имеют число пересечений на два и более отличающихся от числа пересечений самого графа^[5]. Однако он является тороидальным — существует его вложение в тор, при котором все его грани являются шестиугольниками^[6]. Двойственный граф этого вложения — это граф гипероктаэдра ${\displaystyle K_{2,2,2,2}}$.

Существует даже более симметричное вложение графа Мёбиуса — Кантора в двойной тор^[англ.], являющееся правильной картой и имеющее шесть восьмиугольных граней, в котором все 96 симметрий графа можно осуществить как симметрии вложения^[7]. 96-элементную группу симметрии вложения имеет граф Кэли, который может быть вложен в двойной тор. В 1984 году показано, что это единственная группа рода два^[8].

Скульптура Девитта Годфри (DeWitt Godfrey) и Дуэйна Мартинеса (Duane Martinez) в виде двойного тора с вложенным графом Мёбиуса — Кантора выставлялась в Техническом музее Словении на шестой Словенской международной конференции по теории графов в 2007 году. В 2013 году вращающаяся версия скульптуры была выставлена в Колгейтском университете.

Граф Мёбиуса — Кантора допускает вложение в тройной тор^[англ.] (тор третьего рода), которое даёт правильную карту, имеющую четыре 12-угольных грани^[6].

В 2004 году в рамках исследования возможных химических углеродных структур, изучено семейство всех вложений графа Мёбиуса — Кантора в двумерные многообразия, в результате показано, что существует 759 неэквивалентных вложений^[9].

Алгебраические свойства

Группа автоморфизмов графа Мёбиуса — Кантора — это группа порядка 96^[10]. Она действует транзитивно на вершины и на рёбра, поэтому граф Мёбиуса — Кантора является симметричным. У него есть автоморфизмы, которые переводят любую вершину в любую другую и любое ребро в любое другое. Согласно списку Фостера граф Мёбиуса — Кантора является единственным симметричным графом с 16 вершинами и наименьшим кубическим симметричным графом, который не является дистанционно-транзитивным^[11]. Граф Мёбиуса — Кантора является также графом Кэли.

Обобщённый граф Петерсена ${\displaystyle G(n,k)}$ является вершинно-транзитивным в том и только в том случае, когда ${\displaystyle n=10}$ и ${\displaystyle k=2}$, или когда ${\displaystyle k^{2}=\pm 1{\pmod {n}}}$, и рёберно-транзитивным только в следующих семи случаях: ${\displaystyle (n,k)\in \{(4,1),(5,2),(8,3),(10,2),(10,3),(12,5),(24,5)\}}$^[12]. Таким образом, граф Мёбиуса — Кантора является одним из этих семи ребёрно-транзитивных обобщённых графов Петерсена. Его симметричное вложение в двойной тор — одна из семи правильных кубических карт, для которых общее число вершин вдвое больше числа вершин граней^[13]. Среди семи симметричных обобщённых графов Петерсена находятся кубический граф ${\displaystyle G(4,1)}$, граф Петерсена ${\displaystyle G(5,2)}$, граф додекаэдра ${\displaystyle G(10,2)}$, граф Дезарга ${\displaystyle G(10,3)}$ и граф Науру ${\displaystyle G(12,5)}$.

Характеристический многочлен графа Мёбиуса — Кантора равен:

${\displaystyle (x-3)(x-1)^{3}(x+1)^{3}(x+3)(x^{2}-3)^{4}.\ }$