Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Дзета-функция мотивов

формальный степенной ряд Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Дзета-функция мотивов — формальный степенной ряд для заданного гладкого алгебраического многообразия [1]:

,

где  — -я симметрическая степень , то есть частное от деления действием симметрической группы , а  — класс в кольце мотивов.

Если базисное поле конечно и к нему применяется счётная мера , то получатся локальная дзета-функция на . Если базисное поле — поле комплексных чисел и применяется эйлерова характеристика с компактными носителями , и функция выражается как .

Remove ads

Мера мотивов

Суммиров вкратце
Перспектива

Мера мотивов — карта из множества схем конечного типа над полем к коммутативному кольцу , удовлетворяющая трём свойствам:

зависит только от изоморфизма класса ,
если есть замкнутая подсхема ,
.

Например, если является конечным полем и  — кольцо целых чисел, тогда определяет меру мотивов — счётную меру.

Если базисное поле — поле комплексных чисел, то эйлерова характеристика с компактными носителями определяет меру мотивов со значениями в целых числах.

Дзета-функция относительно меры мотивов является формальным степенным рядом в , задающимся следующим образом:

.

Это универсальная мера мотивов. Она принимает значения в -кольце многообразий, , которое представляет собой кольцо, образованное символами , для всех многообразий , в соответствии с отношениями:

если и изоморфны,
если есть замкнутое подмногообразие ,
.

Универсальная мера мотивов порождает дзета-функцию мотивов.

Remove ads

Примеры

Суммиров вкратце
Перспектива

Если  — класс аффинной прямой, то:

Если является гладкой проективной неприводимой кривой рода допуская линейное расслоение степени 1 и мера мотивов принимает значения в поле, в котором обратимо, тогда:

,

где является многочленом степени . Таким образом, в данном случае дзета-функция мотивов рациональна. В высших измерениях дзета-функция мотивов не всегда рациональна.

Если представляет собой гладкую поверхность над алгебраически замкнутым полем характеристики , то производящая функция для мотивов схем Гильберта может быть выражена через дзета-функцию мотивов по формуле Гётше:

,

где является схемой Гильберта длины подсхемы . Для аффинной плоскости эта формула даёт:

,

по сути являющуюся функцией распределения[уточнить].

Remove ads

Примечания

Литература

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads