Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Дзета-функция мотивов
формальный степенной ряд Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Дзета-функция мотивов — формальный степенной ряд для заданного гладкого алгебраического многообразия [1]:
- ,
где — -я симметрическая степень , то есть частное от деления действием симметрической группы , а — класс в кольце мотивов.
Если базисное поле конечно и к нему применяется счётная мера , то получатся локальная дзета-функция на . Если базисное поле — поле комплексных чисел и применяется эйлерова характеристика с компактными носителями , и функция выражается как .
Remove ads
Мера мотивов
Суммиров вкратце
Перспектива
Мера мотивов — карта из множества схем конечного типа над полем к коммутативному кольцу , удовлетворяющая трём свойствам:
- зависит только от изоморфизма класса ,
- если есть замкнутая подсхема ,
- .
Например, если является конечным полем и — кольцо целых чисел, тогда определяет меру мотивов — счётную меру.
Если базисное поле — поле комплексных чисел, то эйлерова характеристика с компактными носителями определяет меру мотивов со значениями в целых числах.
Дзета-функция относительно меры мотивов является формальным степенным рядом в , задающимся следующим образом:
- .
Это универсальная мера мотивов. Она принимает значения в -кольце многообразий, , которое представляет собой кольцо, образованное символами , для всех многообразий , в соответствии с отношениями:
- если и изоморфны,
- если есть замкнутое подмногообразие ,
- .
Универсальная мера мотивов порождает дзета-функцию мотивов.
Remove ads
Примеры
Суммиров вкратце
Перспектива
Если — класс аффинной прямой, то:
Если является гладкой проективной неприводимой кривой рода допуская линейное расслоение степени 1 и мера мотивов принимает значения в поле, в котором обратимо, тогда:
- ,
где является многочленом степени . Таким образом, в данном случае дзета-функция мотивов рациональна. В высших измерениях дзета-функция мотивов не всегда рациональна.
Если представляет собой гладкую поверхность над алгебраически замкнутым полем характеристики , то производящая функция для мотивов схем Гильберта может быть выражена через дзета-функцию мотивов по формуле Гётше:
- ,
где является схемой Гильберта длины подсхемы . Для аффинной плоскости эта формула даёт:
- ,
по сути являющуюся функцией распределения[уточнить].
Remove ads
Примечания
Литература
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads