Симметрическая группа

Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества ${\displaystyle X}$ (то есть биекций ${\displaystyle X\to X}$) относительно операции композиции.

Граф Кэли симметрической группы S₄

Таблица Кэли симметрической группы S₃
(таблица умножения матриц перестановок)

Имеются следующие позиции шести матриц:
Таблица несимметрична относительно главной диагонали, то есть группа не абелева.

Симметрическая группа множества ${\displaystyle X}$ обычно обозначается ${\displaystyle S(X)}$. Если ${\displaystyle X=\{1,2,...,n\}}$, то ${\displaystyle S(X)}$ также обозначается через ${\displaystyle S_{n}}$. Поскольку для равномощных множеств (${\displaystyle |X|=|Y|}$) изоморфны и их группы перестановок (${\displaystyle S(X)\cong S(Y)}$), то для конечной группы порядка ${\displaystyle n}$ группу её перестановок отождествляют с ${\displaystyle S_{n}}$.

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка ${\displaystyle \mathrm {id} (x)=x}$.

Группы перестановок

Хотя обычно группой перестановок (или подстановок) называют саму симметрическую группу, иногда, особенно в англоязычной литературе, группами перестановок множества ${\displaystyle X}$ называют подгруппы симметрической группы ${\displaystyle S(X)}$^[1]. Степенью группы в таком случае называется мощность ${\displaystyle X}$.

Каждая конечная группа ${\displaystyle G}$ изоморфна некоторой подгруппе группы ${\displaystyle S(G)}$ (теорема Кэли).

Свойства

Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности: ${\displaystyle |S_{n}|=n!}$. При ${\displaystyle n\geqslant 3}$ симметрическая группа ${\displaystyle S_{n}}$ некоммутативна.

Симметрическая группа ${\displaystyle S_{n}}$ допускает следующее задание:

${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle }$.

Можно считать, что ${\displaystyle \sigma _{i}}$ переставляет ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle i+1}$. Максимальный порядок элементов группы ${\displaystyle S_{n}}$ — функция Ландау.

Группы ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ разрешимы, при ${\displaystyle n\geqslant 5}$ симметрическая группа ${\displaystyle S_{n}}$ является неразрешимой.

Симметрическая группа является совершенной (то есть отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае ${\displaystyle n=6}$ группа ${\displaystyle S_{6}}$ имеет ещё один внешний автоморфизм^[англ.]. В силу этого и предыдущего свойства при ${\displaystyle n\geqslant 3,n\neq 6}$ все автоморфизмы ${\displaystyle S_{n}}$ являются внутренними, то есть каждый автоморфизм ${\displaystyle \alpha (x)}$ имеет вид ${\displaystyle g^{-1}xg}$ для некоторого ${\displaystyle g\in S_{n}}$.

Число классов сопряжённых элементов симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$ равно числу разбиений числа ${\displaystyle n}$^[2]. Множество транспозиций ${\displaystyle (12),(23),...,(n-1\ n)}$ является порождающим множеством ${\displaystyle S_{n}}$. С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками ${\displaystyle (12),(12...n)}$, так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.

Центр симметрической группы тривиален при ${\displaystyle n\geqslant 3}$. Коммутантом ${\displaystyle S_{n}}$ является знакопеременная группа ${\displaystyle A_{n}}$; причём при ${\displaystyle n\neq 4}$ ${\displaystyle A_{n}}$ — единственная нетривиальная нормальная подгруппа ${\displaystyle S_{n}}$, а ${\displaystyle S_{4}}$ имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.

Представления

Любая подгруппа ${\displaystyle G}$ группы перестановок ${\displaystyle S_{n}}$ представима группой матриц из ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$, при этом каждой перестановке ${\displaystyle \pi :i\to \pi (i)}$ соответствует перестановочная матрица (матрица, у которой все элементы в ячейках ${\displaystyle (i,\pi (i))}$ равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка ${\displaystyle (231)}$ представляется следующей матрицей ${\displaystyle 3\times 3}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}}$

Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем, равным 1, изоморфна знакопеременной группе ${\displaystyle A_{n}}$.

Существуют и другие представления симметрических групп, например, группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна ${\displaystyle S_{5}}$, а группа вращений куба изоморфна ${\displaystyle S_{4}}$.

См. также

• Группа кос