Точечная оценка

То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, оцениваемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.

Определение

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots }$ — случайная выборка для распределения, зависящего от параметра ${\displaystyle \theta \in \Theta }$. Тогда статистику ${\displaystyle {\hat {\theta }}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$, принимающую значения в ${\displaystyle \displaystyle \Theta }$, называют точечной оценкой параметра ${\displaystyle \theta }$.

Замечание

Формально статистика ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра ${\displaystyle \theta }$. Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.

Свойства точечных оценок

• Оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}={\hat {\theta }}(X)}$ называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

${\displaystyle \mathbb {E} _{\theta }\left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta }$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} _{\theta }}$ обозначает математическое ожидание в предположении, что ${\displaystyle \theta }$ — истинное значение параметра (распределения выборки ${\displaystyle X}$).

• Оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.
• Оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}={\hat {\theta }}_{n}(X_{1},\dots ,X_{n})}$ называется состоятельной, если она с увеличением объема выборки n стремится по вероятности к параметру генеральной совокупности: ${\displaystyle \forall \theta \in \Theta }$,

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}\to \theta }$ по вероятности при ${\displaystyle n\to \infty }$.

• Оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$ называется сильно состоятельной, если ${\displaystyle \forall \theta \in \Theta }$,

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}\to \theta }$ почти наверное при ${\displaystyle n\to \infty }$.

Проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности.

См. также

• Интервальная оценка

Литература

• Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.