Дополнительный код

Дополнительный код (англ. "two’s complement", иногда "twos-complement") — наиболее распространённый способ представления отрицательных целых чисел в компьютерах. Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел, что упрощает архитектуру ЭВМ. В англоязычной литературе «обратный код» (инверсия прямого кода) называют «первым дополнением» (англ. "ones' complement"), а «дополнительный код» называют «вторым дополнением» (англ. "two’s complement").

Дополнительный код для отрицательного числа можно получить инвертированием его двоичного модуля (получается "первое дополнение") и прибавлением к инверсии единицы (получается "второе дополнение"), либо вычитанием числа из нуля (сразу получается "второе дополнение").
Дополнительный код двоичного числа определяется как величина, полученная вычитанием модуля числа из наибольшей степени двух (из ${\displaystyle 2^{N}}$ для ${\displaystyle N}$-битного второго дополнения).

История

То, что отрицательные числа в дополнительном коде можно складывать на сумматоре, было известно ещё во времена Паскаля, который и применил это свойство в своей суммирующей машине "Паскалина".

Представление отрицательного числа в дополнительном коде

При записи числа в дополнительном коде старший разряд является знаковым. Если значение старшего разряда равно 0, то это значит, что в остальных разрядах записано положительное двоичное число, совпадающее с прямым кодом.

Двоичное 8-разрядное число со знаком в дополнительном коде может представлять любое целое в диапазоне от −128 до +127. Если старший разряд равен нулю, то наибольшее целое число, которое может быть записано в оставшихся 7 разрядах, равно ${\displaystyle 2^{7}-1=127}$.

Примеры:

Десятичное представление	Двоичное представление (8 бит), код:
	прямой	обратный	дополнительный
127	0111 1111	0111 1111	0111 1111
1	0000 0001	0000 0001	0000 0001
0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
−0	1000 0000	1111 1111	—
−1	1000 0001	1111 1110	1111 1111
−2	1000 0010	1111 1101	1111 1110
−3	1000 0011	1111 1100	1111 1101
−4	1000 0100	1111 1011	1111 1100
−5	1000 0101	1111 1010	1111 1011
−6	1000 0110	1111 1001	1111 1010
−7	1000 0111	1111 1000	1111 1001
−8	1000 1000	1111 0111	1111 1000
−9	1000 1001	1111 0110	1111 0111
−10	1000 1010	1111 0101	1111 0110
−11	1000 1011	1111 0100	1111 0101
−127	1111 1111	1000 0000	1000 0001
−128	—	—	1000 0000

Дополнительный код в иной системе счисления

Тот же принцип можно использовать и в компьютерном представлении любой системы счисления, например, для десятичных чисел.

Преобразования на примере десятичной системы счисления^[1]

Положительное число

Изменение значений текущих разрядов числа не производится, но дописывается знаковый старший разряд, значение которого равно 0. Например число [+12'345] будет иметь следующее представление - [012'345]

Отрицательное число

Дописываем знаковый старший разряд, равный большей цифре данной системы счисления, в нашем случае - это 9, а также изменяем остальные разряды по определённому правилу; пусть значение цифры каждого разряда будет представлено переменной ${\displaystyle x}$, кроме знакового, тогда представим следующий алгоритм действий:

1. Присвоим переменной ${\displaystyle x}$ новое значение, равное выражению ${\displaystyle 9-x}$ (процесс получения обратного кода) - например отрицательное число [-12345] в прямом коде от старшего к младшему разряду будет иметь вид [9'12345], где ${\displaystyle 9}$ - знаковая цифра, а в обратном представлении кода будет иметь следующий вид - [9'87654].
2. К результирующему числу прибавим ${\displaystyle 1}$, так число [9'87654] (первое дополнение) будет иметь вид [987'655] (доп. код).
3. Если возникла ситуация переноса разряда, в результате которого образовался новый разряд, то его (старший разряд) опускаем, а результирующее число считаем положительным. Результирующее положительное число будет одинаково представлено, как в прямом, так и в дополнительном коде. Например, имея возможность представить в таком виде отрицательный и положительный нуль, разберём их перевод в дополнительный код (1 знаковый и 4 дополнительных разряда):
   • [+0] в прямом коде [0'0000]. Первое и второе дополнения равны [0'0000].
   • [-0] в прямом коде [9'0000]. Первое дополнение - [9'9999]. При получении второго дополнения старший разряд числа [(1)0'0000] опускаем и получаем результирующее значение [0'0000], как у числа [+0].

Идея представления десятичного (как и любого другого) числа в дополнительном коде, идентична правилам для двоичной системы счисления и может использоваться в гипотетическом процессоре:

Привычное представление	Прямой код	Первое дополнение	Второе дополнение
...	...	...	...
+13	0'0013	0'0013	0'0013
+12	0'0012	0'0012	0'0012
+11	0'0011	0'0011	0'0011
+10	0'0010	0'0010	0'0010
+9	0'0009	0'0009	0'0009
+8	0'0008	0'0008	0'0008
...	...	...	...
+2	0'0002	0'0002	0'0002
+1	0'0001	0'0001	0'0001
+0	0'0000	0'0000	0'0000
-0	9'0000	9'9999	0'0000
-1	9'0001	9'9998	9'9999
-2	9'0002	9'9997	9'9998
-3	9'0003	9'9996	9'9997
-4	9'0004	9'9995	9'9996
...	...	...	...
-9	9'0009	9'9990	9'9991
-10	9'0010	9'9989	9'9990
-11	9'0011	9'9988	9'9989
-12	9'0012	9'9987	9'9988
-13	9'0013	9'9986	9'9987

Арифметика в дополнительном коде

Сложение и вычитание

Оба числа представляются в дополнительном коде. Дополнительный код обоих чисел имеет одинаковое количество разрядов. В данном представлении числа складываются.

Знаки разные: Если в процессе сложения образуется выходящий за пределы первоначальных чисел разряд, то он опускается. Результирующее значение считается положительным, где прямой и дополнительный коды являются идентичными. Иначе — отрицательным в виде дополнительного кода.

Например:

• [1234] + [-78] → [0’1234] + [9’9922] = [(1)0’1156] = [1156].
• [-1234] + [78] → [9’8766] + [0’0078] = [9’8844] = [-1156].

Знаки одинаковые:

• Положительные числа. Разряд не опускается, результат положительный.
• Отрицательные числа. Разряд опускается, результат отрицательный в дополнительном коде.

Например:

• [1234] + [78] → [0’1234] + [0’0078] = [0’1312] = [1312].
• [-1234] + [-78] → [9’8766] + [9’9922] = [(1)9’8688] → (первое дополнение) [0’1311] → (второе дополнение или обычное представление) [-1312]. При переводе из дополнительного кода в обычное представление результирующее значение является абсолютным.

Преобразование в дополнительный код

Из прямого в дополнительный код

Преобразование числа из прямого кода в дополнительный осуществляется по следующему алгоритму.

1. Если старший (знаковый) разряд числа, записанного в прямом коде, равен 0, то число положительное и никаких преобразований не делается;
2. Если старший (знаковый) разряд числа, записанного в прямом коде, равен 1, то число отрицательное, все разряды числа, кроме знакового, инвертируются, а к результату прибавляется 1.

Для примера преобразуем отрицательное число ${\displaystyle -5}$, записанное в прямом коде, в дополнительный код.

Прямой код отрицательного числа ${\displaystyle -5}$:
1000 0101

• Инвертируем все разряды числа, кроме знакового, получая таким образом обратный код (первое дополнение) отрицательного числа ${\displaystyle -5}$:
  1111 1010
• Добавим к результату ${\displaystyle 1}$, получая таким образом дополнительный код (второе дополнение) отрицательного числа ${\displaystyle -5}$:
  1111 1011

Изменение знака числа

Для преобразования отрицательного числа ${\displaystyle -5}$, записанного в дополнительном коде, в положительное число ${\displaystyle 5}$, записанное в прямом коде, используется похожий алгоритм:

• Инвертируем все разряды отрицательного числа ${\displaystyle -5}$, получая таким образом положительное число 4 в прямом коде:
  0000 0100
• Добавив к результату ${\displaystyle 1}$ получим положительное число ${\displaystyle 5}$ в прямом коде:
  0000 0101

И проверим, сложив получившееся записи ${\displaystyle 5}$ и ${\displaystyle -5}$:
0000 0101 + 1111 1011 = 0000 0000 (пятый и старше разряды выбрасываются)

p-адические числа

В системе p-адических чисел изменение знака числа осуществляется преобразованием числа в его дополнительный код. Например, если используется 5-ричная система счисления, то число, противоположное 0001₅ (1₁₀), равно 4444₅ (−1₁₀).

Реализация алгоритма нахождения модуля для дополнительного кода

TurboBasic

DEF FN TwosComplAbs%(a%)
    IF a% < 0 THEN a% = NOT(a% - 1)
    FN TwosComplAbs% = a%
END DEF

Pascal

function TwosComplAbs(a: integer): integer;
begin
    if (a < 0) then TwosComplAbs := (not a) + 1
    else TwosComplAbs := a;
end;

C/C++

int twos_compl_abs(int a) 
{
    if (a < 0) a = (~a) + 1;
    return a;
}

Реализация без ветвления

С помощью следующей формулы можно вычислить модуль числа без ветвления^[2]:

${\displaystyle |a|=(a\ {\text{xor}}\ (a\ {\text{shr}}\ (n-1)))-(a\ {\text{shr}}\ (n-1))}$,

где: ${\displaystyle {\text{xor}}}$ — Операция исключающего "или";
${\displaystyle {\text{shr}}}$ — Арифметический сдвиг вправо;
${\displaystyle n}$ — Количество двоичных разрядов

Следующий код на языке Си вычисляет модуль по этой формуле:

int32_t fastabs32(int32_t num)
{
    int32_t mask = (num >> 31);
    return ((num ^ mask) - mask);
}

Преимущества и недостатки

Преимущества

• Общие инструкции (процессора) для сложения, вычитания и левого сдвига для знаковых и беззнаковых чисел (различия только в арифметических флагах, которые нужно проверять для контроля переполнения в результате).
• Отсутствие числа «минус ноль».

Недостатки

• Представление отрицательного числа визуально не читается по обычным правилам, для его восприятия нужен особый навык или дополнительные вычисления для приведения в обычный вид.
• В некоторых представлениях (например, двоично-десятичный код) или их составных частях (например, мантисса числа с плавающей запятой) дополнительное кодирование неудобно.
• Модуль наибольшего числа не равен модулю наименьшего числа. Например, для восьмибитного целого со знаком, максимальное число: 127₁₀ = 01111111₂, минимальное число: -128₁₀ = 10000000₂. Соответственно, не для любого числа существует противоположное. Операция изменения знака может потребовать дополнительной проверки.

Пример программного преобразования

Если происходит чтение данных из файла или области памяти, где они хранятся в двоичном дополнительном коде (например, WAV файл), может оказаться необходимым преобразовать байты. Если данные хранятся в 8 битах, необходимо, чтобы значения 128-255 были отрицательными.

C# .NET / C style

byte b1 = 254; //11111110 (бинарное)
byte b2 = 121; //01111001 (бинарное)
byte c = 1<<(sizeof(byte)*8-1);  //2 возводится в степень 7. Результат: 10000000 (бинарное)
byte b1Conversion=(c ^ b1) - c;  //Результат: -2. А фактически, двоичный дополнительный код.
byte b2Conversion=(c ^ b2) - c;  //Результат остаётся 121, потому что знаковый разряд - ноль.

Расширение знака

Расширение знака (англ. sign extension^[en]) — операция над двоичным числом, которая позволяет увеличить разрядность числа с сохранением знака и значения. Выполняется добавлением цифр со стороны старшего значащего разряда. Если число положительное (старший разряд равен 0), то добавляются нули, если отрицательное (старший разряд равен 1) — единицы.

Пример

Примечание: Добавленные цифры подчёркнуты

Десятичное число	Двоичное число (8 разрядов)	Двоичное число (16 разрядов)
10	0000 1010	0000 0000 0000 1010
−15	1111 0001	1111 1111 1111 0001

См. также

• Обратный код
• Прямой код
• Целый тип
• Алгоритм Бута — специализированный алгоритм умножения для чисел в дополнительном коде

Литература

• Behrooz Parhami. 2.3. Complement Representation, 2.4. Two's- and 1's-complement numbers // Computer Arithmetic: Algorithms and Hardware Designs. — New York: Oxford University Press, 2000. — P. 22-27. — 510 p. — ISBN 0-19-512583-5.
• Самофалов К.Г., Романкевич А.М., Валуйский В.Н., Каневский Ю.С., Пиневич М.М. Прикладная теория цифровых автоматов. — Киев: Вища школа, 1987. — 375 с.