Дробное интегро-дифференцирование

Дробное интегро-дифференцирование в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, порядок которого может быть произвольным вещественным или комплексным числом. Используется в дробном математическом анализе. Обычно оператор производной/интеграла дробного порядка обозначается следующим образом: ${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}.}$

Дробное интегро-дифференцирование
Основная тема	фрактальное исчисление[вд]
Определяющая формула	${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f}$

Определения

Три наиболее употребительных формулы:

• Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.

${\displaystyle {}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)}$	${\displaystyle ={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(t)^{q}}}=}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{\Gamma (q-n)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int \limits _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )\,d\tau ,}$

где ${\displaystyle n=\lceil q\rceil }$.

• Дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова

${\displaystyle {}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)}$	${\displaystyle ={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(t-a)^{q}}}=}$
	${\displaystyle =\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right).}$

• Интегро-дифференцирование Вейля

Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана — Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.

Определения через преобразования

Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$:

${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt.}$

В Фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\mathbb {D} f(t)\right]={\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)].}$

Поэтому,

${\displaystyle \mathbb {D} f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega ){\mathcal {F}}[f(t)]\right\},}$

что сводится к

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.}$

При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, дифференцирование заменяется умножением

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].}$

Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно ${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)}$, получаем

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.}$

Основные свойства

• Линейность:

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}\,(f(t)+g(t))=\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)+\mathbb {D} _{t}^{q}\,g(t);}$

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}\,(af(t))=a\,\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t).}$

• Правило нуля:

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{0}\,t=t.}$

• Дробное интегро-дифференцирование произведения:

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}\;(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}\,f(t)\,\mathbb {D} _{t}^{q-j}g(t).}$

• Полугрупповое свойство:

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{a}\mathbb {D} _{t}^{b}\,f(t)=\mathbb {D} _{t}^{a+b}f(t).}$

в общем случае не выполняется^[1].

Некоторые важные формулы

• ${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q};}$
• ${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right);}$
• ${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}.}$

См. также

• Дифференциальный оператор
• Дробная производная
• Дробная динамика