Задача Неймана

Зада́ча Не́ймана, вторая краевая задача — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два типа: внутренние и внешние. Названа в честь Карла Неймана.

Постановка задачи

Внутренняя задача Неймана ставится следующим образом: в области ${\displaystyle \Omega }$ найти функцию ${\displaystyle u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})}$, удовлетворяющую следующим условиям:

${\displaystyle \Delta u=0}$ в области ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{\partial \Omega }=u_{1}(\mathbf {x} ),\ u_{1}\in C(\partial \Omega ),}$

где ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — внешняя единичная нормаль к границе области ${\displaystyle \Omega }$.

На неограниченных областях ${\displaystyle \Omega }$ (внешняя задача Неймана) в постановке задачи добавляется дополнительное условие ограниченности на бесконечности искомой функции ${\displaystyle u}$. Решение внешней задачи Неймана в пространстве размерности ${\displaystyle n>2}$ единственно, если на бесконечности функция ${\displaystyle u\rightarrow 0}$. В двумерном случае решение может быть найдено с точностью до константы, если выполняется условие (*).

В общем случае второй краевой задачей называют задачу решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных с заданным поведением производной на границе.

Условие разрешимости

Из теории потенциала известно, что необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана является выполнение равенства

${\displaystyle \int \limits _{\;\partial \Omega }u_{1}(\mathbf {x} )dS=0,\qquad \qquad (*)}$

при этом решение внутренней задачи Неймана может быть найдено лишь с точностью до константы.^[1]

Физическая интерпретация

Для уравнений различных процессов вторые краевые задачи, в отличие от первых, задаются и интерпретируются по-разному, например:

• Для уравнения теплопроводности задаются в виде ${\displaystyle {\Bigl .}-\lambda {\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigr |}_{\partial \Omega _{2}}=u_{1}(\mathbf {x} )}$, что интерпретируется как тепловой поток на границе области.
• Для уравнений, получаемых из уравнений Максвелла, например для уравнения относительно вектора ${\displaystyle \mathbf {E} }$ интерпретируется как магнитное поле на границе. Такие условия называются магнитными краевыми условиями. Для вектора ${\displaystyle \mathbf {H} }$ интерпретируется как электрическое поле на границе и называются электрическими краевыми условиями. В случае скалярного уравнения задаются как: ${\displaystyle {\Bigl .}-\mu ^{-1}{\frac {\partial E}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigr |}_{\partial \Omega _{2}}=u_{1}(\mathbf {x} )}$, в векторном случае: ${\displaystyle {\Bigl .}\left(\mu ^{-1}\nabla \times \mathbf {E} \right)\times \mathbf {n} {\Bigr |}_{\partial \Omega _{2}}=\mathbf {u_{1}} (\mathbf {x} )}$^[2].

Аналитическое решение

Аналитическое решение для задачи Неймана можно выразить с помощью функции Грина:

${\displaystyle u(\mathbf {y} )=\int _{\partial \Omega }{u_{1}(\mathbf {x} )G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )dx}}$,

где ${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$ — функция Грина для оператора Лапласа в области ${\displaystyle \Omega }$.

Вторые краевые условия в численных методах

При решении задачи различными численными методами вторые краевые условия учитываются по-разному:

• В методе конечных разностей производная ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}}$ аппроксимируется специальной разностной схемой, на той же сетке и полученное уравнение добавляется к общей системе
• В методе конечных элементов вторые краевые учитываются в вариационной постановке и являются добавками в правую часть уравнения: ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}=\int _{\Omega }{f(\mathbf {x} )\varphi _{i}(\mathbf {x} )dx}+\int _{\partial \Omega _{2}}{u_{1}(\mathbf {x} )\varphi _{i}(\mathbf {x} )dx}}$, где ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ — правая часть уравнения, ${\displaystyle \partial \Omega _{2}}$ — часть границы, на которых заданы вторые краевые, ${\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle i}$-я базисная функция^[2].

См. также

• Нейман, Карл Готфрид
• Начальные и граничные условия
• Задача Дирихле
• Эллиптическое уравнение
• Краевая задача
• Теория потенциала

Литература

• В.М. Уроев. Уравнения математической физики. — М.: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3.