Закон повторного логарифма

Закон повторного логарифма — предельный закон теории вероятностей. Теорема определяет порядок роста делителя последовательности сумм случайных величин, при котором эта последовательность не сходится к нулю, но остается почти всюду в конечных пределах.

Экспериментальная иллюстрация закона повторного логарифма и закона больших чисел. Зелёным обозначены пределы блуждания согласно закону повторного логарифма. Вид графика обусловлен нелинейностью обеих осей.

Для случая последовательности сумм независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с двумя значениями теорема была доказана А. Я. Хинчиным в 1924 году^[1][2]. Первую теорему общего типа доказал А. Н. Колмогоров в 1929 году^[3][4].

Теорема

Пусть ${\displaystyle {Y_{n}}}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть ${\displaystyle S_{n}=Y_{1}+\dots +Y_{n}.}$ Тогда почти наверное:

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}={\sqrt {2}},}$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=-{\sqrt {2}},}$

где ${\displaystyle \ln }$ — натуральный логарифм, ${\displaystyle \limsup }$ — верхний предел, ${\displaystyle \liminf }$ — нижний предел.

Обобщения и дополнения

Обобщения закона повторного логарифма Колмогорова для последовательностей независимых ограниченных неодинаково распределенных случайных величин были исследованы В. Феллером^[5]. Обобщение для функциональной сходимости дал Ф. Штрассен^[6]. Им же доказано^[7], что если ${\displaystyle Y_{n}}$ — последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=\infty .}$

Взаимосвязь с другими предельными теоремами

Закон повторного логарифма занимает промежуточное положение между законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел существует в двух вариантах — слабом и усиленном, они утверждают, что суммы ${\displaystyle S_{n}}$ с делителем ${\displaystyle n}$ стремятся к нулю, соответственно по вероятности и почти наверное:

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{n}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0,\quad {\frac {S_{n}}{n}}\longrightarrow 0}$ почти наверное при ${\displaystyle n\to \infty .}$

Центральная предельная теорема утверждает, что суммы ${\displaystyle S_{n}}$ с делителем ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ сходятся к стандартному нормальному распределению, и эта последовательность сумм не сходится к какой-либо конкретной величине ни по вероятности, ни почти наверное, а бесконечно блуждает.

Делитель в законе повторного логарифма приводит к разным результатам для сходимости по вероятности и почти наверное:

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0}$ и ни к чему не стремится почти наверное при ${\displaystyle n\to \infty }$.

Таким образом, хотя величина ${\displaystyle S_{n}/{\sqrt {n\ln \ln n}}}$ будет меньше, чем любое заданное ${\displaystyle \varepsilon >0}$ с вероятностью, стремящейся к единице, она будет бесконечное число раз приближаться сколь угодно близко к любой точке отрезка ${\displaystyle [-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}]}$ почти наверное.