Золотой прямоугольник

Золотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции, ${\displaystyle 1:{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$, или ${\displaystyle 1:\varphi }$ (греческая буква фи), где φ примерно равно 1,618.

Золотой прямоугольник с длинной стороной a и короткой b, помещённый рядом с квадратом со стороной a, даёт подобный золотой прямоугольник с длинной стороной a + b и короткой стороной a. Это иллюстрирует отношение ${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \varphi \,.}$

Построение

Метод построения золотого прямоугольника. Квадрат выделен красным цветом. Результирующие размеры находятся в золотой пропорции.

Золотой прямоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки следующим способом:

1. Строим обычный квадрат.
2. Из угла проводится линия до середины противоположной стороны.
3. Строим окружность, используя точку пересечения в качестве центра окружности, а в качестве радиуса используем полученный отрезок.
4. Продолжаем противоположную сторону до пересечения с окружностью.

Связь с правильными многоугольниками и многогранниками

Отличительной особенностью фигуры является то, что после удаления квадрата оставшаяся часть остаётся золотым прямоугольником, сохраняя то же самое отношение геометрических размеров^[англ.]. Удаление квадратов можно продолжать бесконечно, при этом соответствующие углы квадратов образуют бесконечную последовательность точек на золотой спирали, единственной логарифмической спирали с этим свойством.

Три золотых прямоугольника в икосаэдре

Другое построение золотого прямоугольника использует три правильных многоугольника, вписанных в одинаковые окружности — десятиугольник, шестиугольник и пятиугольник. Соответствующие длины сторон a, b и c этих трёх многоугольников удовлетворяют равенству a² + b² = c², так что отрезки с этими длинами образуют прямоугольный треугольник^[англ.] (согласно теореме Пифагора). Отношение длины стороны шестиугольника к длине стороны десятиугольника равно золотому сечению, так что треугольник образует половину золотого прямоугольника^[1].

Выпуклая оболочка двух противоположных рёбер правильного икосаэдра образует золотой прямоугольник. Двенадцать вершин икосаэдра можно разбить на три взаимно перпендикулярных золотых прямоугольника, границы которых образуют кольца Борромео^[2].

Приложения

Согласно популяризатору астрофизики и математики Марио Ливио, после публикации книги Пачоли «Божественная пропорция» в 1509 году^[3], когда золотая пропорция стала известна художникам без излишней математики^[4], многие художники и архитекторы были очарованы золотым сечением, и оно принято ими как эстетически приятное. Пропорции золотого прямоугольника были известны и до публикации Пачоли^[5] в традиционных системах пропорционирования архитектурных сооружений, в частности в «египетской системе диагоналей». Такие архитектурные шедевры, как Парфенон в Афинах или Альгамбра в Гранаде явно использовали пропорции золотого прямоугольника.

Аналогичное построение использовал в 1940-х годах французский архитектор-модернист Ле Корюзье в собственной системе пропорционирования «Модулор» и российский архитектор-теоретик И. П. Шмелёв при анализе пропорций древних сооружений.

• Вилла Штейн (1927) архитектора Ле Корбюзье в Гарше в горизонтальном плане, в профиле и во внутренних структурах использует близкие к золотому прямоугольнику пропорции ^[6].
• Флаг Того разработан с пропорциями, близкими к золотому прямоугольнику^[7].

См. также

• Числа Фибоначчи
• Золотая середина
• Золотое сечение
• Золотой ромб
• Треугольник Кеплера
• Фибоначчи
• Поворот прямоугольника^[англ.]
• Серебряное сечение