Серебряное сечение

Сере́бряное сече́ние — математическая константа, выражающая определённое геометрическое соотношение, равное 1+√2, выделяемое в геометрии и эстетически. Это иррациональное (но алгебраическое) число приблизительно равно 2,4142135623730950488… и очень близко к ${\displaystyle {\frac {12}{5}}}$. Для использования в процентном делении используется отношение, близкое к этому числу, — 71 / 29^[1].

Иррациональные числа ln 2 ζ(3) ρ √2 ψ φ √3 √5 τ α e π δ eπ
Система счисления	Оценка числа τ
Двоичная	10,0110101000001001111…
Десятичная	2,4142135623730950488…
Шестнадцатеричная	2,6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь	${\displaystyle 2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}}$

Величины a и b находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы b + 2a к a равняется отношению a к b:

${\displaystyle ~~~~~{\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}~}$, где a — большее число, b — меньшее число.

В записях и вычислениях серебряное сечение обычно обозначается как τ (от древнегр. τομή ‘сечение’)^[2][3].

В последнее время некоторые художники и архитекторы считают это отношение «красивым». Возможно, они опираются на теорию динамических прямоугольников^[англ.] Джея Хембриджа^[англ.]. Математики исследовали серебряное соотношение со времён древнегреческой науки (хотя такое название, возможно, появилось только недавно), так как оно связано с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами, числами Пелля, восьмиугольником и др.

Формулы

Обозначим далее серебряное сечение через ${\displaystyle \tau }$. Соотношение, описанное в определении выше, записывается алгебраически так:

${\displaystyle {\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}=\tau \,.}$

Это уравнение имеет единственный положительный корень.

Доказательство:

${\displaystyle {\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}.}$

${\displaystyle b^{2}+2ab=a^{2}.}$

${\displaystyle b^{2}+2ab+a^{2}=2a^{2}.}$

${\displaystyle (a+b)^{2}=2a^{2}.}$

${\displaystyle a+b=\pm a{\sqrt {2}}.}$

${\displaystyle b=(\pm {\sqrt {2}}-1)\cdot a.}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}-1}}={\frac {\pm {\sqrt {2}}+1}{(\pm {\sqrt {2}}-1)(\pm {\sqrt {2}}+1)}}=\pm {\sqrt {2}}+1.}$

Положителен только корень ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1=\tau }$.

${\displaystyle \tau \approx 2{,}414\,213\,562\,373}$ (последовательность A014176 в OEIS)

Геометрическое доказательство того, что корень из двух — иррационален ${\displaystyle {\frac {AB}{BE}}={\frac {AC}{FC}}=\tau }$.

2,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099 9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147 0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986 0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989 6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028 7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471 6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492 9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723 5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720 7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162 0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265 9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342 1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024 5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698 6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997 1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112 0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101 7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472

---

Первые 1000 знаков значения τ, рассчитанные компьютером в 2008 году ^[4].

• ${\displaystyle \tau =1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414\,213\,562\,373\,095\,048\,801\,688\,724\,210}$. Это следует из ${\displaystyle (\tau -1)^{2}=2\,.}$

• ${\displaystyle \tau =[2;2,2,2,\dots ]}$ — в виде цепной дроби:

${\displaystyle \tau =2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}\,.}$

подходящие дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) являются отношениями последовательных чисел Пелля. Эти дроби дают хорошие рациональные аппроксимации серебряного сечения, аналогично тому, что золотое сечение приближается отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

В виде бесконечных вложенных радикалов:

• ${\displaystyle \tau =2{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+...}}}}}}}$.
• ${\displaystyle \tau ={\sqrt {1+2{\sqrt {1+2{\sqrt {1+...}}}}}}}$.

Связанные понятия

Отталкиваясь от определения золотого сечения через цепную дробь, серебряными называют любые цепные дроби, в которых знаменатели постоянны:

${\displaystyle [n;n,n,n,\dots ]}$.

Тригонометрические свойства

Серебряное сечение связано с углом ${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$:

${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{8}}=1+{\sqrt {2}}}$

В правильном восьмиугольнике со стороной a равной единице его разделение пополам образует серединный перпендикуляр равный серебряному сечению.

Таким образом, серебряное сечение соответствует величине ${\displaystyle \operatorname {ctg} {22.5}^{\circ }}$ — котангенсу угла, который образуется в правильном восьмиугольнике из его стороны, и прямой до ближайшей соседней вершины из наиболее отдалённой вершины этой стороны (одной из двух вершин, лежащих на стороне). То есть угол, получающийся при проведении прямой «через одну» вершину; например, при связывании чётных вершин, или при связывании нечётных вершин.

Кроме того, в правильном восьмиугольнике серебряное сечение используется также в формулах нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей и в вычислении площади фигуры; а также в других ситуациях. Поэтому серебряное сечение описывает геометрические свойства правильного восьмиугольника и в определённом смысле является его «сердцем».

См. также

• Числа Пелля
• Пластическое число
• Золотое сечение
• Красота математики