Прямоугольник

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90°)^[1].

Прямоугольник 5 на 4

Слово «прямоугольник» является переводом лат. rectangulus, которое, в свою очередь, представляет собой комбинацию лат. «rectus» (прямой, правильный) и лат. «angulus» (угол)^[2].

В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые, тогда четвёртый угол в силу теоремы о сумме углов многоугольника также будет равен 90°.

В геометрии доказывается, что две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны между собой^[3]. Применив эту теорему к противоположным сторонам прямоугольника, перпендикулярным смежным с ними сторонам, получаем, что противоположные стороны прямоугольника параллельны, поэтому каждый прямоугольник является параллелограммом.

В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360°, прямоугольников в указанном приведённым определением смысле не существует, однако можно определить их обобщения➤.

Свойства

Диагонали прямоугольника

Основной источник: ^[1]

• Противоположные стороны прямоугольника равны.
• Стороны прямоугольника являются его высотами. Середины сторон прямоугольника образуют ромб.
• У прямоугольника есть две оси симметрии — это прямые, проходящие через середины противоположных сторон.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
• Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора).
• Около любого прямоугольника можно описать окружность, причём диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали).

Площадь

Площадь прямоугольника

Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон.

• Площадь прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину.
• Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины.

Место в планиметрии

Прямоугольник можно рассматривать:

• как параллелограмм, у которого один из углов прямой (тогда, по свойствам параллелограмма, и смежные с ним углы будут прямыми);
• как трапецию, у которой углы при основании прямые.

Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:

• Если параллелограмм имеет (по меньшей мере один) прямой угол
• Если в параллелограмме ABCD треугольники ABD и DCA являются конгруэнтными.
• Если диагонали параллелограмма равны.
• Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон.
• Если все углы параллелограмма равны.
• Если параллелограмм имеет (хотя бы одну) ось симметрии, перпендикулярную его стороне.

Важным частным случаем прямоугольника является квадрат, отличающийся тем, что у него равны не только углы, но и все стороны. Каждый квадрат- прямоугольник, но не каждый прямоугольник- квадрат.

В искусстве

Основная статья: Мозаика из прямоугольников

Благодаря своей симметрии, прямоугольники широко применяются в орнаментах, мозаиках и паркетах.

Неевклидова геометрия

Седловидный прямоугольник имеет 4 непланарных вершины В этом примере показаны 4 синих края прямоугольника и две зеленые диагонали, каждая из которых является диагональю прямоугольных граней.

В сферической геометрии сферический прямоугольник представляет собой фигуру, чьи четыре ребра большой окружности дуги, которые встречаются под равными углами больше 90 °. Противоположные дуги равны по длине. Поверхность сферы в евклидовой геометрии является неевклидовой поверхностью в смысле эллиптической геометрии. Сферическая геометрия — это простейшая форма эллиптической геометрии.

В эллиптической геометрии эллиптическая прямоугольник представляет собой фигуру в эллиптической плоскости, четыре ребра эллиптические дуги , которые встречаются под равными углами больше (90°). Противоположные дуги равны по длине.

В гиперболической геометрии гиперболической прямоугольник представляет собой фигуру в гиперболической плоскости, четыре ребра гиперболические дуги , которые встречаются под равными углами (менее 90°). Противоположные дуги равны по длине.