Интегральный логарифм

Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом

${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}$

График функции ${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)}$

Для устранения сингулярности при ${\displaystyle x=1}$ иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:

${\displaystyle \mathrm {Li} \,(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}$

Эти две функции связаны соотношением:

${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)-\mathrm {Li} \,(x)=\mathrm {li} \,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots }$

Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.

Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:

${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x).}$

Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке ${\displaystyle \mu \approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots }$ (число Рамануджана — Солднера).

Разложение в ряд

Из тождества, связывающего ${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Ei} (\ln x)}$ следует ряд:

${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},}$

где ${\displaystyle \gamma \approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots }$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{2^{n-1}n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}$

Интегральный логарифм и распределение простых чисел

Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем ${\displaystyle x/\ln {x}}$. При справедливости гипотезы Римана выполняется^[1]

${\displaystyle \pi (x)=\mathrm {Li} \,(x)+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}(x)).}$

Для не слишком больших ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)<\mathrm {Li} \,(x)}$, однако доказано, что при некотором достаточно большом ${\displaystyle x}$ неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза, в настоящее время известно, что оно заключено где-то между 10^19[2] и 1,3971672·10³¹⁶ ≈ e^{727,951336108[3]}.