Интегральный косинус

Термин «косинус» имеет также другие значения.

Интегра́льный ко́синус — специальная функция, определяемая интегралом^[1]

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}dt}$

График интегрального косинуса для 0 < x ≤ 8π

или:

${\displaystyle \gamma +\ln x+\int \limits _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Иногда используются другие определения:

${\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ci} (x).}$

Также возможно определение интегрального косинуса через интегральную показательную функцию по аналогии с обычным косинусом^[2]:

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {Ei} (ix)+\operatorname {Ei} (-ix)\right)}$

Интегральный косинус был введён Лоренцо Маскерони в 1790 году.

Свойства

• Интегральный косинус может быть представлен в виде ряда:

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2\cdot 2!}}+{\frac {x^{4}}{4\cdot 4!}}-{\frac {x^{6}}{6\cdot 6!}}+\cdots =\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!(2n)}}}$

См. также

• Интегральный синус
• Интегральная показательная функция
• Интегральный логарифм