Интегральный арктангенс

Интегральный арктангенс (англ. inverse tangent integral) — специальная функция, обозначаемая ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)}$ и определяемая следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {arctg} t}{t}}\,dt}$.

График ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)}$ для значений ${\displaystyle x}$ от –10 до 10

Эквивалентно может быть определена с помощью степенного ряда или через дилогарифм — другую специальную функцию, тесно связанную с данной.

Определения

Функция определяется интегралом

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {arctg} t}{t}}\,dt}$,

при этом под арктангенсом понимается его главная ветвь, то есть ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\operatorname {arctg} t<{\frac {\pi }{2}}}$ для всех вещественных ${\displaystyle t}$^[1].

Функция также представляется рядом Маклорена

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=x-{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}-{\frac {x^{7}}{7^{2}}}+\cdots =\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)^{2}}}}$,

который сходится абсолютно при ${\displaystyle |x|\leq 1}$^[1].

Интегральный арктангенс тесно связан с дилогарифмом ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ и выражается через него следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(z)={\frac {1}{2i}}\left(\operatorname {Li} _{2}(iz)-\operatorname {Li} _{2}(-iz)\right)}$,

то есть,

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(ix))}$

для любого вещественного ${\displaystyle x}$^[1].

Интегральный арктангенс связан с хи-функцией Лежандра второго порядка ${\displaystyle \chi _{2}(x)=x+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}+\cdots }$:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=-i\chi _{2}(ix)}$^[1].

При этом ${\displaystyle \chi _{2}(x)}$ может быть представлена в виде ${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {arth} t}{t}}\,dt}$ аналогично интегральному арктангенсу, но с использованием гиперболического ареатангенса вместо арктангенса.

Также может быть выражен через трансцендентную функцию Лерха ${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}}$:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)={\frac {1}{4}}x\Phi \left(-x^{2},2,{\frac {1}{2}}\right)}$^[2].

Интегральный арктангенс от тангенса выражается через функцию Клаузена^[англ.] ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n\theta }{n^{2}}}}$:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\operatorname {tg} \theta )=\theta \ln(\operatorname {tg} \theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$^[3].

Возможны и другие эквивалентные способы определения интегрального арктангенса:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln(1+2x\cos \phi +x^{2})\,d\phi ,&x\geq -1;\\{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln(1+2x\cos \phi +x^{2})\,d\phi -\pi \ln(-x),&x<-1\end{array}}\right.}$^[4];

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}{\frac {4^{n}(n!)^{2}}{(2n)!}}\left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)^{2n+1},|x|\leq 1}$^[5];

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}\left(\operatorname {tg} {\frac {\pi u}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{u}{\frac {\pi \phi }{\sin \pi \phi }}\,d\phi ,|u|<1}$;

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}\left(\operatorname {tg} {\frac {\pi u}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}\left[u+2\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\eta (2n)}{2n+1}}u^{2n+1}\right],|u|<1}$, где ${\displaystyle \eta (s)}$ — эта-функция Дирихле^[6];

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\operatorname {tg} \theta )={\frac {4G\theta }{\pi }}+{\frac {2}{\pi }}\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[G+\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{(2k-1)^{2}}}\right]{\frac {\sin 4n\theta }{n}},|\theta |\leq {\frac {\pi }{4}}}$, где ${\displaystyle G}$ — постоянная Каталана^[7].

Последнее выражение даёт разложение функции ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\operatorname {tg} \theta )-{\frac {4G\theta }{\pi }}}$ в ряд Фурье^[7].

Свойства

Интегральный арктангенс является нечётной функцией:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(-x)=-\operatorname {Ti} _{2}(x)}$^[1].

Кроме того, значения ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)}$ связаны следующим соотношением:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)-\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {\pi }{2}}\ln x}$,

которое верно для всех ${\displaystyle x>0}$ (точнее, для всех комплексных ${\displaystyle x}$ с ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)>0}$). Это свойство может быть доказано дифференцированием и применением формулы ${\displaystyle \operatorname {arctg} (t)+\operatorname {arctg} \left({\frac {1}{t}}\right)={\frac {\pi }{2}}}$^[8][9]. В модифицированном виде

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)-\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {\pi }{2}}\operatorname {sign} x\ln |x|}$

оно верно для всех вещественных ${\displaystyle x}$^[10].

При ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)\sim {\frac {\pi }{2}}\ln x}$^[10].

Рамануджан обнаружил, что

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin[(4n-2)x]}{(2n-1)^{2}}}=\operatorname {Ti} _{2}(\operatorname {tg} x)-x\ln(\operatorname {tg} x)}$^[11].

При ${\displaystyle -1<x<1}$ к функции применима следующая формула двойного аргумента, выводимая из соотношения ${\displaystyle 2\operatorname {arctg} (x)=\operatorname {arctg} \left({\frac {2x}{1-x^{2}}}\right)}$:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {x^{2}}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {x(2+x)}{2(1+x)}}\right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {x(2-x)}{2(1-x)}}\right)+\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {x}{2+x}}\right)-\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {x}{2-x}}\right)+\operatorname {Ti} _{2}(1-x)+\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{1+x}}\right)=2\operatorname {Ti} _{2}(1)+{\frac {\pi }{4}}\ln \left({\frac {1-x}{1+x}}\right)}$,

для ${\displaystyle x>1}$ она принимает вид

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {2}{x^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {x(x+2)}{2(x+1)}}\right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {x(x-2)}{2(x-1)}}\right)+\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {x}{x+2}}\right)+\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {x-2}{x}}\right)-\operatorname {Ti} _{2}(x-1)+\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{x+1}}\right)=2\operatorname {Ti} _{2}(1)-{\frac {\pi }{4}}\ln(x^{2}-1)}$^[12].

При ${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}<x<{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ верна формула тройного аргумента, которая является следствием из формулы ${\displaystyle 3\operatorname {arctg} (x)=\operatorname {arctg} \left({\frac {3x-x^{3}}{1-3x^{2}}}\right)}$:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {3x-x^{3}}{1-3x^{2}}}\right)=\operatorname {Ti} _{2}(x)+\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1-x{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}+x}}\right)-\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1+x{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}-x}}\right)+{\frac {\pi }{6}}\ln \left({\frac {{\sqrt {3}}+x}{1-x{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {1+x{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}-x}}\right)}$.

Она также выражается в тригонометрической форме:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\operatorname {Ti} _{2}(\operatorname {tg} 3\theta )=\operatorname {Ti} _{2}(\operatorname {tg} \theta )+\operatorname {Ti} _{2}\left(\operatorname {tg} \left[{\frac {\pi }{6}}-\theta \right]\right)-\operatorname {Ti} _{2}\left(\operatorname {tg} \left[{\frac {\pi }{6}}+\theta \right]\right)+{\frac {\pi }{6}}\ln \left({\frac {\operatorname {tg} \left[{\frac {\pi }{6}}+\theta \right]}{\operatorname {tg} \left[{\frac {\pi }{6}}-\theta \right]}}\right)}$^[13].

Частные значения

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(1)=G}$, где ${\displaystyle G=1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \approx 0.915966}$ — постоянная Каталана^[10][9];

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(2-{\sqrt {3}})={\frac {2}{3}}G+{\frac {\pi }{12}}\ln(2-{\sqrt {3}})}$;

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(2+{\sqrt {3}})={\frac {2}{3}}G+{\frac {5\pi }{12}}\ln(2+{\sqrt {3}})}$^[11].

Два выражения выше можно переписать в тригонометрической форме:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}\left(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{12}}\right)={\frac {2}{3}}\operatorname {Ti} _{2}\left(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {\pi }{12}}\ln \left(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{12}}\right)}$;

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}\left(\operatorname {tg} {\frac {5\pi }{12}}\right)={\frac {2}{3}}\operatorname {Ti} _{2}\left(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {5\pi }{12}}\ln \left(\operatorname {tg} {\frac {5\pi }{12}}\right)}$^[11].

Кроме того, известны связи между отдельными значениями интегрального арктангенса:

${\displaystyle 3\operatorname {Ti} _{2}(1)-2\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}\ln 2}$^[11];

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {7}{24}}\right)+2\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{7}}\right)+6\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{3}}\right)-8\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)+\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {3}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}\ln {\frac {3}{2}}}$^[14];

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}+1}}\right)-\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}-1}}\right)+{\frac {2}{3}}\operatorname {Ti} _{2}({\sqrt {2}}-1)={\frac {\pi }{6}}\ln \left({\frac {{\sqrt {2}}-1}{({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1)}}\right)}$^[15].

Последнее соотношение может быть получено в тригонометрической форме с помощью формулы тройного аргумента:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}\left(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{24}}\right)-\operatorname {Ti} _{2}\left(\operatorname {tg} {\frac {5\pi }{24}}\right)+{\frac {2}{3}}\operatorname {Ti} _{2}\left(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{8}}\right)=-{\frac {\pi }{6}}\ln \left({\frac {\operatorname {tg} {\frac {5\pi }{24}}}{\operatorname {tg} {\frac {\pi }{8}}}}\right)}$^[15].

Обобщения

Графики функций ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{0}(x)}$, ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{1}(x)}$, ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{3}(x)}$ для значений ${\displaystyle x}$ от –5 до 5

Аналогично полилогарифму ${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}}$ можно определить семейство функций

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)^{n}}}=x-{\frac {x^{3}}{3^{n}}}+{\frac {x^{5}}{5^{n}}}-{\frac {x^{7}}{7^{n}}}+\cdots }$.

Эти функции удовлетворяют рекуррентному соотношению

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {Ti} _{n-1}(t)}{t}}\,dt}$^[16].

Формула, связывающая значения ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}\left({\frac {1}{x}}\right)}$, в общем случае имеет следующий вид:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)+(-1)^{n-1}\operatorname {Ti} _{n}\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {{\frac {\pi }{2}}\ln ^{n-1}x}{(n-1)!}}+2\sum \limits _{k=1}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }{\frac {\ln ^{n-1-2k}x}{(n-1-2k)!}}\operatorname {Ti} _{2k+1}(1)}$,

и верна для всех ${\displaystyle x>0}$^[17].

Разложение ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)}$ в ряд показывает, что ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(1)=\beta (n)}$, где ${\displaystyle \beta (s)}$ — бета-функция Дирихле^[18].

Обобщённый интегральный арктангенс

Функция двух переменных ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x,a)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {arctg} t}{t+a}}\,dt}$ называется обобщённым интегральным арктангенсом^[19].

При ${\displaystyle a>x>0}$ верно соотношение ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(-x,a)=-\operatorname {Ti} _{2}(x,-a)}$^[19].

Частная производная этой функции по параметру ${\displaystyle a}$ является элементарной функцией и равна

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}\operatorname {Ti} _{2}(x,a)={\frac {\operatorname {arctg} x}{x+a}}-{\frac {1}{1+a^{2}}}\left[\ln \left({\frac {a+x}{a}}\right)-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+a\operatorname {arctg} x\right]}$^[20].

Для обобщённого интегрального арктангенса верна формула обмена аргумента и параметра:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x,a)-\operatorname {Ti} _{2}(a,x)=\operatorname {Ti} _{2}(x)-\operatorname {Ti} _{2}(a)+\operatorname {arctg} a\ln \left({\frac {a{\sqrt {1+x^{2}}}}{a+x}}\right)-\operatorname {arctg} x\ln \left({\frac {x{\sqrt {1+a^{2}}}}{x+a}}\right)}$^[20].

Может быть выражен через функцию Клаузена:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\operatorname {tg} \theta ,\operatorname {tg} \phi )=\theta \ln \left({\frac {\sin(\theta +\phi )}{\cos \theta }}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta +2\phi )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\phi )}$^[21].

История изучения

Спенс^[англ.] изучал семейство функций ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)}$ в 1809 году, обозначая их как ${\displaystyle {\overset {n}{\operatorname {C} }}(x)}$^[22]; позже функцию ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)}$ также изучал Рамануджан^[8]. Современные обозначения ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)}$ введены Льюином.