Трансцендентная функция Лерха

Трансцендентная функция Лерха — специальная функция, обобщающая дзета-функцию Гурвица и полилогарифм:

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}}$.

Ряд сходится только при действительных ${\displaystyle \alpha >0}$, при ${\displaystyle |z|<1}$ или ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)>1}$ и ${\displaystyle |z|=1}$^[1].

Описана Матиашем Лерхом в 1887 году^[2].

Частные случаи

За счёт параметризма обобщает весьма широкий класс функций, в частности, через неё с различными параметрами могут быть выражены:

• дзета-функция Лерха: ${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{2\pi i\lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\Phi (e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )}$,
• дзета-функция Гурвица^[3]: ${\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}=\Phi (1,s,\alpha )}$,
• полилогарифм^[3]: ${\displaystyle {\textrm {Li}}_{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}}=z\Phi (z,s,1)}$,
• дзета-функция Римана^[3]: ${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\Phi (1,s,1)}$,
• эта-функция Дирихле^[4]: ${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=\Phi (-1,s,1)}$,
• бета-функция Дирихле^[3]: ${\displaystyle \beta (s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{s}}}=2^{-s}\Phi (-1,s,{\tfrac {1}{2}})}$,
• хи-функция Лежандра^[3]: ${\displaystyle \chi _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}}={\frac {z}{2^{s}}}\Phi (z^{2},s,{\tfrac {1}{2}})}$
• интегральный арктангенс^[5]: ${\displaystyle {\textrm {Ti}}_{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}}={\frac {z}{2^{s}}}\Phi (-z^{2},s,{\tfrac {1}{2}})}$,
• полигамма-функции при положительных целых ${\displaystyle n}$^[6]:

  ${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}$,

  ${\displaystyle \psi ^{(n)}(\alpha )=(-1)^{n+1}n!\Phi (1,n+1,\alpha )}$,

• функция Клаузена^[7]: ${\displaystyle {\text{Cl}}_{2}(z)={\frac {ie^{-iz}}{2}}\Phi (e^{-iz},2,1)-{\frac {ie^{iz}}{2}}\Phi (e^{iz},2,1)}$.

Частные значения

Точные значения многих точек функции Лерха, не сводящейся к более простым функциям, не вычислены, однако некоторые из них и точек её производной известны:

• ${\displaystyle \Phi (-1,2,{\frac {1}{2}})=4G}$, где ${\displaystyle G}$ — постоянная Каталана
• ${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,1)=\ln \left({\frac {A^{3}}{2^{\frac {1}{3}}e^{\frac {1}{4}}}}\right)}$, где ${\displaystyle A}$ — постоянная Глейшера — Кинкелина.
• ${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-2,1)={\frac {7\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,{\frac {1}{2}})={\frac {G}{\pi }}}$

Интегральные представления

Интегральное представление трансцендентной функции Лерха:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

Доказательство основано на использовании интегрального определения гамма-функции, которое можно записать следующим образом:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)\Gamma (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }t^{s}z^{n}e^{-(n+a)t}{\frac {dt}{t}}}$

и затем поменять местами сумму и интеграл. Полученное интегральное представление сходится при ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus [1,\infty ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$ и ${\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0}$. Оно аналитически продолжает ${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$ на ${\displaystyle z}$ вне единичного круга. Интегральная формула также верна, если ${\displaystyle z=1}$, ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ и ${\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0}$; см. дзета-функцию Гурвица.^[8][4]

Представление в виде контурного интеграла задаётся формулой:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$,

где ${\displaystyle C}$ — контур Ганкеля против часовой стрелки вокруг положительной действительной оси, не включающий ни одну из точек ${\displaystyle t=\log(z)+2k\pi i}$ (при целых ${\displaystyle k}$), которые являются полюсами подынтегрального выражения. Интеграл предполагает, что ${\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0}$^[9].

Интегральное представление типа Эрмита задаётся формулой

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,dt+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

при

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge |z|<1}$

и

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

при

${\displaystyle \Re (a)>0}$.

Аналогичные представления включают, например:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\tanh \pi t}}\,dt}$,

и

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\sinh \pi t}}\,dt}$,

справедливые для положительных значений ${\displaystyle z}$ (и, в более общем случае, всюду, где сходятся интегралы).

Более того (формула Липшица):

${\displaystyle \Phi (e^{i\varphi },s,a)=L{\big (}{\tfrac {\varphi }{2\pi }},s,a{\big )}={\frac {1}{a^{s}}}+{\frac {1}{2\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}{\big (}e^{i\varphi }-e^{-t}{\big )}}{\cosh {t}-\cos {\varphi }}}\,dt}$.

Тождества

При рациональном ${\displaystyle \lambda }$ слагаемое является корнем из единицы, и, таким образом, ${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )}$ может быть выражена как конечная сумма по дзета-функции Гурвица. Предположим, ${\textstyle \lambda ={\frac {p}{q}}}$ с ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle q>0}$. Затем ${\displaystyle z=\omega =e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$ и ${\displaystyle \omega ^{q}=1}$:

${\displaystyle \Phi (\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{qn+m}}{(qn+m+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\omega ^{m}q^{-s}\zeta \left(s,{\frac {m+\alpha }{q}}\right)}$

Некоторые другие тожества:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}$,

${\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}$,

${\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a)}$.

Также функция проявляется при интегрировании:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{u-1}y^{v-1}}{1-xyz}}(-\ln(xy))^{s}\,dxdy=\Gamma (s+1){\frac {\Phi (z,s+1,v)-\Phi (z,s+1,u)}{u-v}}}$,

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {(xy)^{u-1}}{1-xyz}}(-\ln(xy))^{s}\,dxdy=\Gamma (s)\Phi (z,s+2,u)}$.

Разложения в ряд

Разложение в ряд трансцендентной функции Лерха задаётся формулой:

${\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(q+k)^{-s}}$,

где ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ — биномиальный коэффициент.

Ряд сходится при всех ${\displaystyle s}$ и комплексных ${\displaystyle z}$ с ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)<{\frac {1}{2}}}$. Имеет место сходство с аналогичным представлением ряда для дзета-функции Гурвица^[10].

Ряд Тейлора по первому параметру был предложен Артуром Эрдейи, в однои из вариантов он записывается в виде следующего ряда, справедливого при^[11]:

${\displaystyle \left|\log(z)\right|<2\pi ;s\neq 1,2,3,\dots ;a\neq 0,-1,-2,\dots }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\left[\Gamma (1-s)\left(-\log(z)\right)^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }\zeta (s-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}\right]}$.

Если ${\displaystyle n}$ — положительное целое число, то:

${\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\psi (n)-\psi (a)-\log(-\log(z))\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\}}$,

где ${\displaystyle \psi (n)}$ — дигамма-функция.

Ряд Тейлора по третьей переменной задаётся формулой

${\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}};|x|<\Re (a),}$

где ${\displaystyle (s)_{k}}$ — символ Похгаммера.

Ряд при ${\displaystyle a=-n}$ задаётся формулой:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}};\ a\rightarrow -n}$

Частный случай при ${\displaystyle n=0}$ имеет следующее разложение:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}};|a|<1,}$,

где ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$ — полилогарифм.

Асимптотический разложение при ${\displaystyle s\rightarrow -\infty }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[2k\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{2k\pi ai}}$

при ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (-\infty ,0)}$ и:

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[(2k+1)\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{(2k+1)\pi ai}}$

при ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (0,\infty )}$.

Асимптотическое разложение с использованием неполной гамма-функции:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi i(k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log(z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log(z))^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi ika}\Gamma (1-s,a(2\pi ik-\log(z)))}{(2\pi ik-\log(z))^{1-s}}}}$

при ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0}$.

Представление в виде обобщённой гипергеометрической функции имеет вид^[12]:

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )={\frac {1}{\alpha ^{s}}}{}_{s+1}F_{s}\left({\begin{array}{c}1,\alpha ,\alpha ,\alpha ,\cdots \\1+\alpha ,1+\alpha ,1+\alpha ,\cdots \\\end{array}}\mid z\right)}$.

Асимптотическое разложение

Функция полилогарифма ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$ определяется как:

${\displaystyle \mathrm {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}},\qquad \mathrm {Li} _{-n}(z)=z{\frac {d}{dz}}\mathrm {Li} _{1-n}(z)}$.

Пусть:

${\displaystyle \Omega _{a}\equiv {\begin{cases}\mathbb {C} \setminus [1,\infty )&{\text{if }}\Re a>0,\\{z\in \mathbb {C} ,|z|<1}&{\text{if }}\Re a\leq 0.\end{cases}}}$

При ${\displaystyle |\mathrm {Arg} (a)|<\pi ,s\in \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle z\in \Omega _{a}}$, асимптотическое разложение ${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$ для больших ${\displaystyle a}$ и фиксированных ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle z}$ задаётся как:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {(-1)^{n}\mathrm {Li} _{-n}(z)}{n!}}{\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O(a^{-N-s})}$

при ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, где ${\displaystyle (s)_{n}=s(s+1)\cdots (s+n-1)}$ — символ Похгаммера^[13].

Пусть:

${\displaystyle f(z,x,a)\equiv {\frac {1-(ze^{-x})^{1-a}}{1-ze^{-x}}}}$.

Пусть также ${\displaystyle C_{n}(z,a)}$ коэффициентами ряда Тейлора этой функции в точке ${\displaystyle x=0}$. Тогда для фиксированного ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\Re a>1}$ и ${\displaystyle \Re s>0}$:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)-{\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z^{a}}}=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(z,a){\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O\left((\Re a)^{1-N-s}+az^{-\Re a}\right),}$

при ${\displaystyle \Re a\to \infty }$^[14].