Константа Рамануджана — Зольднера

Константа Рамануджана — Зольднера (также константа Зольднера) — вещественное число, определяемое как значение единственного положительного корня интегрального логарифма. Константа названа в честь Сринивасы Рамануджана и Иоганна фон Зольднера, которые в разное время вычислили её приближённое значение.

Константа Рамануджана — Зольднера на графике интегрального логарифма.

Её значение равно примерно ${\displaystyle \mu \approx 1{,}45136923488338105028396848589202744949303228\cdots }$ (последовательность A070769 в OEIS).

Свойства

Неизвестно, является ли постоянная Рамануджана — Зольднера иррациональным числом, также неизвестно, иррационален ли её логарифм^[1].

Поскольку интегральный логарифм определён как ${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}$, верно

${\displaystyle \mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {li} (x)-\mathrm {li} (\mu )=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}-\int _{0}^{\mu }{\frac {dt}{\ln t}}=\int _{\mu }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}$^[2].

Это облегчает вычисление интеграла для ${\displaystyle x>1}$. Поскольку интегральная показательная функция удовлетворяет равенству ${\displaystyle \mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {Ei} (\ln {x})}$^[3], то её единственный положительный корень равен натуральному логарифму константы Рамануджана — Зольднера^[4]. Его величина ${\displaystyle \ln \mu \approx 0{,}372507410781366634461991866\cdots }$(последовательность A091723 в OEIS).

Из разложения интегрального логарифма в ряд следует, что

${\displaystyle \gamma =-\ln \ln \mu -\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln ^{n}\mu }{n\cdot n!}}}$, где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони^[5].

Другое разложение интегрального логарифма в ряд, обнаруженное Рамануджаном, показывает, что

${\displaystyle \gamma =-\ln \ln \mu +{\sqrt {\mu }}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln ^{n}\mu }{2^{n-1}n!}}\sum \limits _{k=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}$^[1].

Для последовательности ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {(-n)^{k}}{k!}}\sum _{\begin{array}{c}m_{1}+\cdots +m_{k}=n-1\\m_{i}>0\end{array}}{\frac {1}{m_{1}\cdot m_{1}!\cdots m_{k}\cdot m_{k}!}}}$ известны следующие суммы:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\gamma n}=\ln \mu }$

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}e^{-\gamma n}=\mu -1}$^[6].

История вычисления

В 1792 году Лоренцо Маскерони вычислил, что функция ${\displaystyle \operatorname {li} (z)}$ имеет нуль при ${\displaystyle z\approx 1{,}45137}$^[7]. Зольднер в 1809 году улучшил точность до 10 знаков после запятой, получив 1,4513692346 (впрочем, в последнем знаке он ошибся)^[8][9].

В 1913 году Рамануджан получил для ${\displaystyle \mu }$ значение 1,45136380. Он использовал его для вычисления интегрального логарифма, который, в свою очередь, входил в его оценку функции распределения простых чисел^[10][11][9].

В 1990 году Брюс Берндт^[англ.] и Рональд Эванс при помощи системы компьютерной алгебры Macsyma смогли улучшить известное значение ${\displaystyle \mu }$, получив 1,4513692349^[9].

В 1999 году Паскаль Себа вычислил 10 000 знаков числа ${\displaystyle \mu }$, а в 2001 году он смог получить 75 500 знаков; для вычисления он применял метод Ньютона четвёртого порядка^[12]. Его результат оставался рекордом по крайней мере до августа 2010 года. Для сравнения, постоянная Каталана ${\displaystyle G}$ была вычислена Себой и Гордоном в том же 2001 году с точностью более 100 миллионов знаков после запятой^[13].