Калибровочная теория гравитации

Калибровочная теория гравитации — это подход к объединению гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями, успешно описываемыми в рамках калибровочной теории.

История

Первая калибровочная модель гравитации была предложена Р. Утиямой в 1956 г., два года спустя после рождения самой калибровочной теории.^[1] Однако первоначальные попытки построить калибровочную теорию гравитации по аналогии с калибровочной теорией Янга — Миллса внутренних симметрий столкнулись с проблемой описания общих ковариантных преобразований и псевдоримановой метрики (тетрадного поля) в рамках такой калибровочной модели.

Чтобы решить эту проблему, было предложено представить тетрадное поле как калибровочное поле группы трансляций.^[2] При этом генераторы общих ковариантных преобразований рассматривались как генераторы калибровочной группы трансляций и тетрадное поле (поле кореперов) отождествлялось с трансляционной частью аффинной связности на пространственно-временном многообразии ${\displaystyle X}$. Любая такая связность является суммой ${\displaystyle K=\Gamma +\Theta }$ общей линейной связности ${\displaystyle \Gamma }$ на ${\displaystyle X}$ и припаивающей формы ${\displaystyle \Theta =\Theta _{\mu }^{a}dx^{\mu }\otimes \vartheta _{a}}$, где ${\displaystyle \vartheta _{a}=\vartheta _{a}^{\lambda }\partial _{\lambda }}$ — неголономный репер.

Существуют различные физические интерпретации трансляционной части ${\displaystyle \Theta }$ аффинной связности. В калибровочной теории дислокаций поле ${\displaystyle \Theta }$ описывает дисторсию.^[3] В другой трактовке, если линейный репер ${\displaystyle \vartheta _{a}}$ задан, разложение ${\displaystyle \theta =\vartheta ^{a}\otimes \vartheta _{a}}$ дает основание ряду авторов рассматривать корепер ${\displaystyle \vartheta ^{a}}$ именно как калибровочное поле трансляций.^[4]

Общие ковариантные преобразования

Трудность построения калибровочной теории гравитации по аналогии с теорией Янга — Миллса вызвана тем, что калибровочные преобразования этих двух теорий принадлежат разным классам. В случае внутренних симметрий калибровочными преобразованиями являются вертикальные автоморфизмы главного расслоения ${\displaystyle P\to X}$, оставляющие неподвижной его базу ${\displaystyle X}$. В то же время теория гравитации строится на главном расслоении ${\displaystyle FX}$ касательных реперов к ${\displaystyle X}$. Оно принадлежит категории натуральных расслоений ${\displaystyle T\to X}$, для которых диффеоморфизмы базы ${\displaystyle X}$ канонически продолжаются до автоморфизмов ${\displaystyle T}$.^[5] Эти автоморфизмы называются общими ковариантными преобразованиями. Общих ковариантных преобразований достаточно, чтобы сформулировать и общую теорию относительности, и аффинно-метрическую теорию гравитации как калибровочную теорию.^[6]

В калибровочной теории на натуральных расслоениях калибровочными полями являются линейные связности на пространственно-временном многообразии ${\displaystyle X}$, определяемые как связности на главном реперном расслоении ${\displaystyle FX}$, а метрическое (тетрадное) поле играет роль хиггсовского поля, отвечающего за спонтанное нарушение общих ковариантных преобразований.^[7]

Псевдориманова метрика и хиггсовские поля

См. также: Механизм Хиггса

Спонтанное нарушение симметрий является квантовым эффектом, когда вакуум не инвариантен относительно некоторой группы преобразований. В классической калибровочной теории спонтанное нарушение симметрий происходит, когда структурная группа ${\displaystyle G}$ главного расслоения ${\displaystyle P\to X}$ редуцирована к своей замкнутой подгруппе ${\displaystyle H}$, то есть существует главное подрасслоение расслоения ${\displaystyle P}$ со структурной группой ${\displaystyle H}$.^[8] При этом имеет место взаимно однозначное соответствие между редуцированными подрасслоениями ${\displaystyle P}$ со структурной группой ${\displaystyle H}$ и глобальными сечениями фактор-расслоения ${\displaystyle P/H\to X}$. Эти сечения описывают классические хиггсовские поля.

Первоначально идея интерпретировать псевдориманову метрику как хиггсовское поле возникла при построении индуцированных представлений общей линейной группы ${\displaystyle GL(4,\mathbb {R} )}$ по подгруппе Лоренца.^[9] Геометрический принцип эквивалентности, постулирующий существование системы отсчета, в которой сохраняются лоренцевские инварианты, предполагает редукцию структурной группы ${\displaystyle GL(4,\mathbb {R} )}$ главного реперного расслоения ${\displaystyle FX}$ к группе Лоренца. Тогда само определение псевдоримановой метрики на многообразии ${\displaystyle X}$ как глобального сечения фактор-расслоения ${\displaystyle FX/O(1,3)\to X}$ ведет к её физической интерпретации как хиггсовского поля.

См. также

• Тетрадная теория гравитации
• Альтернативные теории гравитации