Группа Лоренца

Гру́ппа Ло́ренца — группа преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами)^[1].

Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени:

${\displaystyle x_{\nu }'=\sum _{\mu }L_{\nu \mu }x_{\mu },}$

${\displaystyle x_{0}=ct,\quad x_{1}=x,\quad x_{2}=y,\quad x_{3}=z,}$

которые оставляют инвариантной квадратичную форму с сигнатурой (1, 3), которая является математическим выражением четырёхмерного интервала ${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$^[2]. В частности, группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях ${\displaystyle xy,\ yz,\ zx}$, лоренцевы преобразования ${\displaystyle xt,\ yt,\ zt}$, отражения пространственных осей ${\displaystyle x,y,z}$: ${\displaystyle x\to -x,\ y\to -y,\ z\to -z}$ и все их произведения.

Группа Лоренца — частный случай неопределённой ортогональной группы^[3], и поэтому обозначается ${\displaystyle O(1,3)}$ (либо ${\displaystyle O(3,1)}$, что соответствует квадратичной форме с противоположными знаками и переставленными координатами), ${\displaystyle O(1,3;\mathbb {R} )}$ или ${\displaystyle \mathrm {O} _{1,3}(\mathbb {R} )}$, а также ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$^[2].

Специальная группа Лоренца или собственная группа Лоренца ${\displaystyle SO(1,3)}$ — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ±1).

Ортохронная группа Лоренца ${\displaystyle O_{\uparrow }(1,3)}$ (также обозначается ${\displaystyle \mathrm {O} _{1,3}^{+}(\mathbb {R} )}$, и она может быть отождествлена с проективной (неопределённой) ортогональной группой^[англ.] ${\displaystyle \mathrm {PO} _{1,3}(\mathbb {R} )}$), специальная (или собственная) ортохронная группа Лоренца ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$ — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты ${\displaystyle x^{0}}$). Группа ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$, единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Иногда условие ортохронности включают в определение группы Лоренца, в этом случае группа, включающая преобразования, которые меняют направление времени, может называться общей группой Лоренца^[4][5]. Иногда также под группой Лоренца подразумевают собственную ортохронную группу Лоренца^[6].

Представления группы Лоренца

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца (бусты)	Относительность лоренц-ковариантность	…движения центра масс
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат ${\displaystyle U_{\alpha }(x)}$. При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: ${\displaystyle u_{\beta }'=\sum _{\alpha }\Lambda _{\beta \alpha }u_{\alpha }(x)}$. При этом матрица ${\displaystyle \Lambda }$ имеет ранг ${\displaystyle \nu }$, равный числу компонент величины ${\displaystyle u_{\alpha }}$. Каждому элементу группы Лоренца ${\displaystyle P}$ соответствует линейное преобразование ${\displaystyle \Lambda (P)}$, единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование ${\displaystyle \Lambda =1}$, а произведению двух элементов группы Лоренца ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ соответствует произведение двух преобразований ${\displaystyle \Lambda (P_{1}P_{2})=\Lambda (P_{1})\Lambda (P_{2})}$. Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца.^[7]

Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$ можно построить при помощи спиноров.