Канторова лестница

Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции ${\displaystyle [0,1]\to [0,1]}$, которая не является константой, но при этом имеет производную, равную нулю в почти всех точках (сингулярной функции). Иногда называется «Чёртовой лестницей» или «дьявольской лестницей».^[1]

Канторова лестница

Построения

Стандартное

В точках 0 и 1 значение функции принимается равным соответственно 0 и 1. Далее интервал (0, 1) разбивается на три равные части ${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{3}}\right)}$, ${\displaystyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$ и ${\displaystyle \left({\frac {2}{3}},1\right)}$. На среднем сегменте полагаем ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}}$. Оставшиеся два сегмента снова разбиваются на три равные части каждый, и на средних сегментах ${\displaystyle F(x)}$ полагается равной ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ и ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$. Каждый из оставшихся сегментов снова делится на три части, и на внутренних сегментах ${\displaystyle F(x)}$ определяется как постоянная, равная среднему арифметическому между соседними, уже определенными значениями ${\displaystyle F(x)}$. На остальных точках единичного отрезка определяется по непрерывности. Полученная функция называется канторовой лестницей.

По двоичной и троичной записи

Любое число ${\displaystyle x\in [0,1]}$ можно представить в троичной системе счисления ${\displaystyle x=(0{,}a_{1}a_{2}\dots )_{3}}$, ${\displaystyle a_{i}\in \{0,1,2\}}$. Если в записи ${\displaystyle 0{,}a_{1}a_{2}\dots }$ встречается 1, выбросим из неё все последующие цифры и в оставшейся последовательности заменим каждую двойку на 1. Получившаяся последовательность ${\displaystyle 0{,}b_{1}b_{2}\dots }$ даёт запись значения канторовой лестницы в точке ${\displaystyle x}$ в двоичной системе счисления.

Свойства

• Производная канторовой лестницы определена и равна нулю во всех точках, кроме канторова множества.
• Канторова лестница непрерывна, ограниченной вариации, но не абсолютно непрерывна.
• Канторова лестница не обладает свойством Лузина.

См. также

• Функция Минковского
• Фрактал