Канторово множество

Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.

Описано в 1883 году Георгом Кантором. Этим он ответил на следующий вопрос Магнуса Миттаг-Леффлера, заданный в письме от 21 июня 1882 года:^[1]

Пусть ${\displaystyle P'}$ обозначает множество предельных точек множества ${\displaystyle P}$. Существует ли нигде неплотное множество ${\displaystyle P}$, такое что пересечение

${\displaystyle P\cap P'\cap P''\cap \dots }$

не пусто?

Определения

Классическое построение

Из единичного отрезка ${\displaystyle C_{0}=[0,1]}$ удалим среднюю треть, то есть интервал ${\displaystyle \left({\frac {1}{3}};{\frac {2}{3}}\right)}$. Оставшееся точечное множество обозначим через ${\displaystyle C_{1}}$. Множество ${\displaystyle C_{1}=\left[0;{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}};1\right]}$ состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть и оставшееся множество обозначим через ${\displaystyle C_{2}}$. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем ${\displaystyle C_{3}}$. Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств ${\displaystyle C_{0}\supset C_{1}\supset C_{2}\supset \dots }$. Пересечение

${\displaystyle C=\bigcap _{i=0}^{\infty }C_{i}}$

и называется канторовым множеством.

Множества ${\displaystyle C_{0},\ C_{1},\ C_{2},\ C_{3},\ C_{4},\ C_{5},\ C_{6}}$

С помощью троичной записи

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек (числа с единицей в ${\displaystyle n}$-м разряде вырезаются на ${\displaystyle n}$-м шаге построения). Число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление. Например, ${\displaystyle 0{,}1_{3}\in C}$, так как ${\displaystyle 0{,}1_{3}=0{,}0(2)_{3}}$. В такой записи легко увидеть континуальность канторова множества.

Как аттрактор

Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ такие, что для любого ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}}{3}}}$ или ${\displaystyle x_{n+1}-1={\frac {x_{n}-1}{3}}}$.

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.

Как счётная степень простого двоеточия

В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства — ${\displaystyle \{0;1\}^{\aleph _{0}}}$^[2]; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией)^[3][4].

Свойства

• Канторово множество замкнуто.
• Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.
• Канторово множество континуально.
• Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
• Канторово множество имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность равную ${\displaystyle {\frac {\ln 2}{\ln 3}}\approx 0{,}63}$. В частности, оно имеет нулевую меру Лебега.
• Каждый нульмерный метризуемый компакт без изолированных точек гомеоморфен канторову множеству.
• Всякий метризуемый компакт — образ канторова множества при некотором непрерывном отображении.
• Канторово множество универсально для всех нульмерных пространств со счётной базой.

Вариации и обобщения

Канторов куб (обобщённый канторов дисконтинуум) веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}}$ — ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-я степень двухточечного дискретного пространства ${\displaystyle \{0;1\}^{\mathfrak {m}}}$. Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств веса не больше ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Каждый хаусдорфов компакт веса не больше ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ есть непрерывный образ подпространства канторова куба ${\displaystyle \{0;1\}^{\mathfrak {m}}}$.

Диадический компакт^[англ.] — компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба. Диадическое пространство^{[англ.][5]} — топологическое пространство, для которого существует компактификация, являющаяся диадическим компактом.

См. также

• Канторова лестница
• Функция Минковского
• Дисконтинуум