Касательное пространство Зарисского

Касательное пространство Зарисского — конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая построить касательное пространство в точке алгебраического многообразия. Эта конструкция использует не методы дифференциальной геометрии, а только методы общей, и, в более конкретных ситуациях, линейной алгебры.

Мотивировка

Рассмотрим плоскую алгебраическую кривую, заданную полиномиальным уравнением

${\displaystyle F(x,y)=0.}$

Опишем касательное пространство к этой кривой в начале координат. Выбросим из уравнения все члены порядка больше первого, останется уравнение

${\displaystyle ax+by=0.}$

Возможны два случая: либо ${\displaystyle a=b=0}$, в этом случае касательное пространство определяется как вся аффинная плоскость (все её точки удовлетворяют уравнению выше), в этом случае начало координат является особой точкой кривой. В противном случае, касательное пространство — это прямая, рассматриваемая как одномерное аффинное пространство. (Более точно, в исходной аффинной плоскости нет никакого начала координат. Однако при определении касательного пространства в точке p естественно выбрать начало координат в этой точке.)

Определение

Кокасательное пространство локального кольца ${\displaystyle R}$ с максимальным идеалом m определяется как

${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$

где m² — произведение идеалов. Кокасательное пространство является векторным пространством над полем вычетов ${\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}$. Векторное пространство, двойственное к нему, называется касательным пространством R^[1].

Это определение обобщает данный выше пример на более высокие размерности. Грубо говоря, ${\displaystyle R}$ — это кольцо ростков функций в точке p. Это кольцо локально, его максимальный идеал — ростки функций, равных нулю в p (максимальный идеал локального кольца состоит в точности из необратимых элементов). Так как точка p принадлежит многообразию, нас интересуют только элементы m, факторизация по m² соответствует выбрасыванию членов больших степеней. Поскольку мы начинали с кольца функций, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ соответствует «линейным функционалам» на касательном пространстве, то есть пространству, двойственному к касательному.

Касательное пространство ${\displaystyle T_{P}(X)}$ и кокасательное пространство ${\displaystyle T_{P}^{*}(X)}$ к схеме X в точке P — это (ко)касательное пространство локального кольца ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,P}}$. Благодаря функториальности Spec, естественное отображение факторизации ${\displaystyle f:R\rightarrow R/I}$ индуцирует гомоморфизм ${\displaystyle g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}}$, где X=Spec(R), P — точка Y=Spec(R/I). Этот гомоморфизм часто используют для вложения ${\displaystyle T_{P}(Y)}$ в ${\displaystyle T_{f^{-1}P}(X)}$^[2] (например, касательное пространство многообразия, вложенного в аффинное пространство, естественным образом вложено в касательное пространство аффинного пространства). Так как морфизмы полей инъективны, сюръекция полей вычетов, индуцированная g, является изоморфизмом. Таким образом, g индуцирует морфизм k касательных пространств, поскольку

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)}$

${\displaystyle \cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).}$

Так как k сюръективен (является гомоморфизмом факторизации), то двойственное линейное отображение ${\displaystyle k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)}$ инъективно (является вложением).

Аналитический случай

Если V — подмногообразие n-мерного векторного пространства, определённое идеалом I (идеалом функций, равных нулю на этом многообразии), кольцу R соответствует кольцо F_n/I, где F_n — кольцо ростков гладких/аналитических/голоморфных функций на векторном пространстве, I — ростки функций из идеала. Тогда касательное пространство Зарисского в точке x — это

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}),}$

где ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ — идеал функций соответствующего типа, равных нулю в точке x.

В примере с алгебраической кривой, ${\displaystyle I=(f)}$, а ${\displaystyle (I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2})=(ax+by+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}).}$

Свойства

Если R — нётерово локальное кольцо, размерность касательного пространства не меньше размерности R:

${\displaystyle \mathrm {dim} \;{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geqslant \mathrm {dim} \;R.}$

R называется регулярным кольцом, если выполняется равенство. Если локальное кольцо многообразия V в точке x регулярно, говорят, что x — регулярная точка многообразия. В противном случае x называется особой точкой.

Существует интерпретация касательного пространства при помощи гомоморфизмов в кольцо дуальных чисел ${\displaystyle k[t]/(t^{2}).}$ На языке схем, морфизмы из Spec k[t]/t² в схему X над k соответствует выбору рациональной точки x ∈ X(k) (точки с координатами из поля k) и элемента касательного пространства в точке x^[3]. Таким образом, эти морфизмы имеет смысл называть касательными векторами.