Алгебраическое уравнение

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение, многочленное уравнение) — уравнение вида

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$

где ${\displaystyle P}$ — многочлен от переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена ${\displaystyle P}$ обычно берутся из некоторого поля ${\displaystyle {F}}$, и тогда уравнение ${\displaystyle P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0}$ называется алгебраическим уравнением над полем ${\displaystyle {F}}$.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена ${\displaystyle P}$.

Например, уравнение

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}+y^{2}z^{5}+x^{3}-xy^{2}+3x^{2}-1=0}$

является алгебраическим уравнением 7-й степени от 3 переменных (с 3 неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения

Значения переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры алгебраических уравнений

• Алгебраическое уравнение с одним неизвестным — уравнение вида ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}=0,}$ где ${\displaystyle n}$ — натуральное число.
• Линейное уравнение
  • от одной переменной: ${\displaystyle ax+b=0,\quad a\neq 0.}$
  • от нескольких переменных: ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0.}$
• Квадратное уравнение
  • от одной переменной: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0.}$
• Кубическое уравнение
  • от одной переменной: ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0.}$
• Уравнение четвёртой степени
  • от одной переменной: ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.}$
• Уравнение пятой степени
  • от одной переменной: ${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,\quad a\neq 0.}$
• Уравнение шестой степени
  • от одной переменной: ${\displaystyle ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0,\quad a\neq 0.}$
• Возвратное уравнение — алгебраические уравнения вида: ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0,}$ коэффициенты которых, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если ${\displaystyle a_{n-k}=a_{k},}$, при ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}$.

См. также

• Алгебраическая функция
• Основная теорема алгебры
• Ряд Пюизё
• Трансцендентное уравнение