Идеал (алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Идеал (значения).

Идеал — общеалгебраическая конструкция, возникшая в теории колец как обобщение идеи замкнутых относительно умножения числовых подмножеств, таких как чётные целые числа или кратные трём целые числа. В дальнейшем понятие распространилось на алгебры, на произвольные полугруппы и структуры, их содержащие, и заняло одно из важных мест в общей алгебре, как при обобщениях теории чисел на общие структуры, так и во множестве смежных отраслей, в том числе гомологической алгебре, алгебраической геометрии.

Идеал для кольца ${\displaystyle R}$ формально определяется как подмножество ${\displaystyle I\subset R}$, являющееся подгруппой аддитивной группы кольца ${\displaystyle (R,+)}$ и замкнутое относительно умножения на элементы из ${\displaystyle R}$, то есть для любых ${\displaystyle i\in I}$ и ${\displaystyle r\in R}$ выполнено ${\displaystyle ir\in I}$ и ${\displaystyle ri\in I}$. Если выполняется только одно из условий — ${\displaystyle ir\in I}$ и ${\displaystyle ri\in I}$, то есть подмножество является замкнутым лишь относительно умножения слева или справа, то говорят, что ${\displaystyle I}$ является левым идеалом и правым идеалом соответственно; в связи с этим идеал (являющийся одновременно левым и правым) иногда называют двусторонним идеалом.

Название «идеал» ведёт своё происхождение от идеальных чисел, введённых в 1847 году Эрнстом Куммером^[1] в рамках изучения разложимости на простые множители в круговых полях. Непосредственно идеал был впервые определён Дедекиндом в 1876 году в третьем издании «Лекций по теории чисел». Первые применения конструкции — обобщения результатов теории чисел на общие кольца: простые числа обобщаются в понятии простых идеалов, как обобщение взаимно простых чисел вводятся взаимно простые идеалы, для идеалов можно доказать аналог китайской теоремы об остатках, а в дедекиндовых кольцах можно даже получить аналог основной теоремы арифметики: в них каждый ненулевой идеал можно единственным образом представить как произведение простых идеалов.

Идеал полугруппы — подполугруппа, замкнутая относительно подполугруппового умножения (слева, справа или двусторонне — в зависимости от этого будет являться левым, правым или двусторонним). (Левый, правый, двусторонний) идеал модуля над кольцом — подмодуль, замкнутый относительно умножения (слева, справа или двусторонне) на элементы кольца. Это определение естественным образом распространяется на алгебры над кольцом и алгебры над полем; в случае алгебр с единицей требование замкнутости относительно умножения на элементы поля выполняется автоматически. Для ${\displaystyle R}$-алгебры ${\displaystyle A}$ алгебры над кольцом ${\displaystyle R}$ идеал кольца ${\displaystyle A}$ может, вообще говоря, не быть идеалом алгебры ${\displaystyle A}$, так как это подкольцо необязательно будет подалгеброй, то есть ещё и подмодулем над ${\displaystyle R}$. Например, если ${\displaystyle A}$ есть ${\displaystyle k}$-алгебра с нулевым умножением, то множество всех идеалов кольца ${\displaystyle A}$ совпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы ${\displaystyle A}$, а множество всех идеалов алгебры ${\displaystyle A}$ совпадает с множеством всех подпространств векторного ${\displaystyle k}$-пространства ${\displaystyle A}$. Однако в случае, когда ${\displaystyle A}$ — алгебра с единицей, оба эти понятия совпадают.

Связанные определения

Для любого кольца ${\displaystyle R}$ само ${\displaystyle R}$ и нулевой идеал ${\displaystyle 0}$ являются идеалами (двусторонними) — такие идеалы называются тривиальными. Собственные идеалы — идеалы, образующие собственное подмножество, то есть не совпадающие со всем ${\displaystyle R}$^[2][3].

Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их идеал или решётку идеалов. Например, кольцо, не имеющее нетривиальных двусторонних идеалов, называется простым; кольцо, не имеющее нетривиальных идеалов (не обязательно двусторонних), является телом; через условия на идеалы определяются кольцо главных идеалов, артиново кольцо, нётерово кольцо.

С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологическое пространство ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ — спектр кольца, точками которого являются все простые идеалы кольца ${\displaystyle A}$, отличные от ${\displaystyle A}$, а замкнутые множества определяются как множества простых идеалов, содержащих какое-то множество ${\displaystyle E}$ элементов кольца ${\displaystyle A}$ (или, что то же, идеал ${\displaystyle I}$, порождённый этим множеством). Эта топология называется топологией Зарисского.

Понятие идеала тесно связано с понятием модуля. Идеал (правый или левый) можно определять как подмодуль кольца, рассмотренного как правый или левый модуль над собой.

Свойства

Левые идеалы в ${\displaystyle R}$ являются правыми идеалами в противоположном кольце ${\displaystyle R^{0}}$ (кольце с теми же элементами и тем же сложением, что и данное, но с умножением определённым ${\displaystyle a\star b=ba}$), и наоборот.

Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные подгруппы в группах: для всякого гомоморфизма ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ядром ${\displaystyle \operatorname {Ker} f}$ является идеал, и обратно, всякий идеал — ядро некоторого гомоморфизма. Более того, идеал однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ гомоморфизма, ядром которого он является: ${\displaystyle f(A)}$ изоморфен факторкольцу (факторалгебре) ${\displaystyle A/I}$.

В кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел все идеалы главные и имеют вид ${\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\mid z\in \mathbb {Z} \}}$, где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$.

Пересечение идеалов также является идеалом (часто, особенно в коммутативной алгебре, пересечение называется наименьшим общим кратным).

Типы идеалов

Порождённый идеал — идеал, образованный заданным множеством. Поскольку пересечение произвольного семейства (левых, правых, двусторонних) идеалов кольца — (левый, правый, двусторонний) идеал того же кольца, для всякого подмножества ${\displaystyle M}$ кольца ${\displaystyle R}$ существует минимальный (левый, правый, двусторонний) идеал, его содержащий, а именно — пересечение всех левых идеалов, содержащих множество ${\displaystyle M}$.

Главный идеал — идеал, порождённый одним элементом. Конечнопорождённый идеал — идеал, порождённый конечным множеством элементов.

Максимальный идеал — собственный идеал, не являющийся собственным подмножеством какого-либо другого собственного идеала; факторкольцо по максимальному идеалу является полем. Радикальный идеал — идеал, совпадающий со своим радикалом. Понятие простого числа обобщается посредством простых, примарных и первичных идеалов.

Среди других важных типов идеалов — модулярные, нильпотентные, фундаментальные, существенные.

Операции

Если в кольце ${\displaystyle R}$ задано произвольное семейство идеалов ${\displaystyle I_{\alpha }}$, их суммой ${\displaystyle \sum I_{\alpha }}$ называется минимальный идеал, который их всех содержит. Он порождён объединением этих идеалов, и его элементами являются любые конечные суммы элементов из их объединения (само объединение идеалов является идеалом в общем случае не является). Относительно суммы все (левые, правые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют решётку. Каждый идеал является суммой главных идеалов. Часто, особенно в коммутативной алгебре, сумма называется наибольшим общим делителем).

Пересечение идеалов (определяемое как пересечение множеств) всегда является идеалом.

Произведением идеалов ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$ называется идеал ${\displaystyle IJ}$, порождённый всеми произведениями ${\displaystyle ab}$, где ${\displaystyle a}$ — элемент идеала ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle b}$ — элемент идеала ${\displaystyle J}$. Бесконечное произведение идеалов в общем случае неопределено.

Частное идеалов может быть определено в коммутативном кольце для ненулевого идеала ${\displaystyle I}$ и произвольного идеала ${\displaystyle J}$ как идеал ${\displaystyle I^{-1}J=\{x\in R\colon \,\forall i\in I\,ix\in J\}}$. Этот идеал называется аннулятором идеала ${\displaystyle I}$ в случае, когда ${\displaystyle J=(0)}$.

Радикал идеала ${\displaystyle I}$ — множество ${\displaystyle {\sqrt {I}}=\{f\in A\mid \exists n\in \mathbb {N} \,\,f^{n}\in {I}\}}$. Радикал тоже является идеалом кольца ${\displaystyle R}$, если только кольцо коммутативно. В случае, когда ${\displaystyle I=(0)}$, этот идеал называется нильрадикалом кольца ${\displaystyle R}$, его элементами являются все нильпотентные элементы кольца. Если коммутативное кольцо не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля (имеет нулевой нильрадикал), — оно называется радикальным. Идеал ${\displaystyle I}$ называется радикальным, если он совпадает со своим радикалом; в этом случае факторкольцо ${\displaystyle R/I}$ не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля.

Если задано семейство (цепочка) идеалов ${\displaystyle \{I_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$, занумерованное линейно упорядоченным множеством ${\displaystyle A}$', так, что для любых индексов ${\displaystyle \alpha <\beta }$ из ${\displaystyle A}$' идеал ${\displaystyle I_{\alpha }}$ содержится в идеале ${\displaystyle I_{\beta }}$, тогда их объединение является идеалом — индуктивным пределом данной цепочки идеалов. Этот идеал также совпадает с суммой всех идеалов из цепочки. Тот факт, что индуктивный предел всегда существует, означает, что множество всех идеалов кольца ${\displaystyle R}$ индуктивно упорядочено, и к нему применима лемма Цорна. Она часто используется для построения максимальных идеалов с какими-то дополнительными свойствами.

Образ идеала при сюръективном гомоморфизме является идеалом (в общем случае это неверно); в частности, так как гомоморфизм факторизации всегда сюръективен, при факторизации каждый идеал переходит в идеал.

Если ${\displaystyle f\colon A\to B}$ — гомоморфизм колец, его ядро ${\displaystyle \operatorname {Ker} f=\{a\in A\mid f(a)=0\}}$ является двусторонним идеалом. Более общо, если ${\displaystyle I}$ — произвольный идеал в кольце ${\displaystyle B}$, его полный прообраз ${\displaystyle f^{-1}I=\{a\in A:\,f(a)\in I\}}$ является идеалом (левым, правым или двусторонним, в зависимости от того, каков идеал ${\displaystyle I}$).

Если ${\displaystyle I}$ — двусторонний идеал в кольце ${\displaystyle R}$, по нему можно определить отношение эквивалентности на ${\displaystyle R}$ по правилу: ${\displaystyle x\sim y}$ тогда и только тогда, когда разность ${\displaystyle x-y}$ принадлежит ${\displaystyle I}$. Проверяется, что если в сумме или произведении один из операндов заменить на эквивалентный, новый результат будет эквивалентен исходному. Таким образом операции сложения и умножения становятся определёнными на множестве ${\displaystyle R/I}$ классов эквивалентности, превращая его в кольцо (коммутативность и наличие единицы переносятся с кольца ${\displaystyle R}$, если они есть). Одновременно с этим кольцом определён гомоморфизм факторизации (канонический гомоморфизм) ${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$, который каждому элементу ${\displaystyle a}$ из ${\displaystyle R}$ ставит в соответствие класс эквивалентности, в котором он содержится. Класс эквивалентности элемента ${\displaystyle a}$ есть множество элементов вида ${\displaystyle a+i}$ по всем ${\displaystyle i}$ из идеала ${\displaystyle I}$, поэтому он обозначается ${\displaystyle a+I}$, но иногда используется и общее обозначение для класса эквивалентности ${\displaystyle [a]}$. Поэтому ${\displaystyle \pi (a)=[a]=a+I}$. Кольцо ${\displaystyle R/I}$ при этом называется факторкольцом кольца ${\displaystyle R}$ по идеалу ${\displaystyle I}$.