Категория Люстерника — Шнирельмана

Категория Люстерника — Шнирельмана — характеристика топологического пространства ${\displaystyle X}$ — минимальное число ${\displaystyle \operatorname {cat} X}$ таких замкнутых множеств, которыми можно покрыть ${\displaystyle X}$ и каждое из которых может быть стянуто в точку посредством непрерывной деформации в ${\displaystyle X}$. Категория имеет важное значение для вариационного исчисления, так как она оценивает снизу число стационарных (критических) точек гладкой функции на замкнутом многообразии.

Свойства

• Категория Люстерника—Шнирельмана является гомотопическим инвариантом.
• ${\displaystyle \operatorname {cat} \,\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}=n+1}$, где ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ обозначает ${\displaystyle n}$-мерное вещественное проективное пространство.
• ${\displaystyle \operatorname {cat} X>\operatorname {long} X,}$ где когомологическая длина ${\displaystyle \operatorname {long} X}$ определяется как наибольшее число классов когомологий положительной размерности, произведение которых отлично от нуля.

История

Категория была введена Люстерником в 1931 при решении ряда задач, в том числе задачи о трёх замкнутых геодезических на поверхностях, гомеоморфных двумерной сфере. Он же впервые вычислил её для вещественного проективного пространства. Позже, совместно со Шнирельманом, категория была использована для доказательства гипотезы Пуанкаре о существовании трёх замкнутых геодезических на выпуклых телах.

См. также

• Род Шварца