Мнимая единица

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен ${\displaystyle -1}$. В математике и физике мнимая единица обозначается латинской буквой ${\displaystyle i}$, в электротехнике — буквой ${\displaystyle j}$.

Число ${\displaystyle i}$ на комплексной плоскости. Вещественные числа лежат на горизонтальной оси, чисто мнимые — на вертикальной.

Введение мнимой единицы позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Одной из причин введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$ с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — об этом говорит основная теорема алгебры. Существуют и другие области, в которых комплексные числа приносят большую пользу.

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: при наличии трёх вещественных корней для получения двух из них формула Кардано требовала извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.

Вплоть до конца XIX века наряду с символом ${\displaystyle i}$ использовалось обозначение ${\displaystyle {\sqrt {-1}},}$ однако современные источники предписывают во избежание ошибок под знаком радикала помещать только неотрицательные выражения^[1][2]. Более того, помимо мнимой единицы, существует ещё одно комплексное число, квадрат которого равен ${\displaystyle -1,}$ — число ${\displaystyle -i,}$ в паре с которым мнимая единица составляет следующие свойства:

• числа i и −i являются одновременно противоположными и обратными: последнее верно потому, что произведение этих чисел равно 1;
• i и −i комплексно сопряжены, так что их сумма (ноль) и произведение (единица) вещественны одновременно (свойства сопряжённых чисел).

Термин «мнимая единица» может употребляться не только для комплексных чисел, но и для их обобщений➤.

Степени мнимой единицы

Степени ${\displaystyle i}$ повторяются в цикле:

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle i^{-3}=i}$

${\displaystyle i^{-2}=-1}$

${\displaystyle i^{-1}=-i}$

${\displaystyle i^{0}=1}$

${\displaystyle i^{1}=i}$

${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle i^{3}=-i}$

${\displaystyle i^{4}=1}$

${\displaystyle \ldots }$

что может быть записано для любой степени в виде:

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i}$

где n — любое целое число.

Отсюда: ${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$, где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Возведение в комплексную степень является многозначной функцией. Например, таковой является величина ${\displaystyle i^{i}}$, которая представляет бесконечное множество вещественных чисел (${\displaystyle i^{i}\subset \mathbb {R} }$):

${\displaystyle i^{i}=e^{-\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)},}$ где ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

При ${\displaystyle k=0}$ получаем число ${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}20787957635...,}$ соответствующее главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы.

Доказательство

• Представим основание в виде комплексной экспоненты (в этом случае её показателем будет комплексный логарифм):

${\displaystyle z=i^{i}=\left(e^{\operatorname {Ln} i}\right)^{i}=\left(e^{\ln |i|+i\operatorname {Arg} i}\right)^{i}}$

Альтернативным путём является представление основания в показательной форме:

${\displaystyle z=i^{i}=\left(|i|e^{i\operatorname {Arg} i}\right)^{i}}$

Нетрудно убедиться, что оба полученных выражения тождественно равны.

Найдем модуль и аргумент числа ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle i=0+1i=x+yi\quad \Rightarrow \quad x=0,y=1}$

${\displaystyle |i|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {0^{2}+1^{2}}}=1}$

${\displaystyle \operatorname {Arg} i=\varphi +2\pi k}$, где ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \varphi =\lim _{x\to +0}\left(\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}\right)=\lim _{x\to +0}\left(\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}\right)=\left[{\color {white}\vdots }\operatorname {arctg} (+\infty ){\color {white}\vdots }\right]={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {Arg} i={\frac {\pi }{2}}+2\pi k}$

Подставим полученные значения для модуля и аргумента в выражение для ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle z=\left(e^{\ln 1+i\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}\right)^{i}=\left(e^{i\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}\right)^{i}=e^{i^{2}\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}=e^{-\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}}$

Таким образом, получаем:

${\displaystyle i^{i}=e^{-\left({\frac {\pi }{2}}+2\pi k\right)}}$, где ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ∎

И очевидно, что:

${\displaystyle i^{i}\subset \mathbb {R} }$

• Теперь докажем, что число ${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}}$ является частным значением ${\displaystyle i^{i}}$, которое соответствует главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы.

Ранее было найдено главное значение аргумента мнимой единицы (т.е. такое, что попадает в промежуток ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$):

${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}\in (-\pi ,\pi ]}$

Подставляя его вместо ${\displaystyle \operatorname {Arg} i}$ в выражение для ${\displaystyle z}$, получим искомое частное значение:

${\displaystyle e^{-\varphi }=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}20787957635\ldots }$ ∎

Также верно, что ${\displaystyle (-i)^{(-i)}=i^{i}}$.

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.}$

Также

${\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564...,}$^[3]

потому что |i!|² = i! i! = i! (i)! = Γ(1 + i) Γ(1 − i), что по рекуррентному соотношению гамма-функции можно переписать как i Γ(i) Γ(1 − i), а затем по формуле дополнения Эйлера — как iπ/sin πi = π/sinh π.

Корни из мнимой единицы

Основная статья: Корень (математика)

Корни квадратные из мнимой единицы

Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n значений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

${\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1}$

В частности, ${\displaystyle \{{\sqrt {i}}\}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};~{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}}$ и ${\displaystyle \{{\sqrt[{3}]{i}}\}=\left\{-i;~{\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};~{\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.}$

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

${\displaystyle u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1.}$

Иные мнимые единицы

В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения ${\displaystyle x^{2}=-1}$.

К вопросу об интерпретации и названии

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввёл термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i.Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.

Обозначения

Обычное обозначение — ${\displaystyle i}$, но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать ${\displaystyle j}$, чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: ${\displaystyle i=i(t)}$^[4][5].

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как 𝕚.

См.также

• Дуальные числа и двойные числа
• Комплексный анализ
• Кватернион
• Гиперкомплексное число