Энергетический спектр

Энергети́ческий спектр — набор возможных энергетических уровней квантовой системы. Система потенциально способна занять любой уровень из набора, но сам спектр не даёт информации о вероятности реализации того или иного уровня (состояния).

Эта статья — об энергетическом спектре квантовой системы. О распределении частиц по энергиям в излучении см. Спектр, Спектр излучения. Об энергетическом спектре сигнала см. Спектральная плотность мощности.

Общая характеристика

Энергетический спектр состоит из возможных энергетических уровней квантовой системы, то есть энергий квантовых состояний этой системы^[1]. Одной и той же энергии может соответствовать более одного квантового состояния (вырождение).

С математической точки зрения энергетический спектр системы — это спектр её гамильтониана.

В случае, когда квантовая система представляет собой движущуюся частицу (или квазичастицу), доступные значения энергии зависят от импульса (или квазиимпульса) частицы; эта зависимость называется законом дисперсии. Энергетическим спектром в этом контексте называют как набор разрешённых энергий, так и закон дисперсии (то есть набор разрешённых энергий вместе с информацией об импульсах, которым эти энергии соответствуют).

Энергетический спектр и связанные с ним характеристики (например, плотность состояний) определяют многие важные свойства квантовых систем.

Не следует путать со спектром поглощения и спектром излучения сред (например, твёрдых тел или газов) и отдельных объектов (например, атомов или молекул), которые представляют собой распределение поглощаемого или испускаемого излучения по энергиям фотонов или длинам волн и определяются энергетическим спектром системы и дополнительными условиями, разрешающими или запрещающими в ней те или иные переходы между энергетическими уровнями.

Примеры

Энергетический спектр атома водорода без учёта тонкой структуры состоит из энергий ${\displaystyle E_{n}=-1~\mathrm {Ry} /n^{2},\ n=1,2,3\ldots }$, где Ry — ридберг (а также непрерывной части спектра, включающей все положительные энергии).

Энергетический спектр молекулы, вообще говоря, определяется и энергетическими уровнями электронов, и колебательным и вращательным движением отдельных атомов^[2].

У свободной массивной нерелятивистской частицы (например, электрона в вакууме) закон дисперсии параболический: зависимость энергии от импульса изотропна и квадратична, ${\displaystyle E(p)=p^{2}/(2m)}$. У свободной безмассовой частицы (фотона) закон дисперсии линеен по импульсу. В релятивистской квантовой механике электроны в вакууме описываются уравнением Дирака, которое приводит к соотношению ${\displaystyle E_{\pm }(p)=\pm {\sqrt {(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}}}$; переформулирование теории в терминах электронов и позитронов позволяет устранить ветвь с отрицательными энергиями.

Зонная структура электронов в кремнии. Выделена запрещённая зона.

Согласно зонной теории в физике твёрдого тела, спектр электронов в твёрдом теле состоит из определённых энергетических зон; зависимость энергии электрона от квазиимпульса в каждой из зон может быть устроена сравнительно сложно. В то же время часто можно ввести сравнительно простой приблизительный низкоэнергетический спектр, описывающий закон дисперсии вблизи уровня Ферми; в частности, в полупроводниках такой спектр может быть параболическим, подобно спектру свободных электронов, хотя в этом случае в законе дисперсии вместо массы электрона в вакууме фигурирует эффективная масса, вообще говоря, разная у электронов и дырок. Энергетический спектр электронов в материале, также называемый зонной структурой, определяет электронные и оптические свойства материала, и для определения зонной структуры в физике развито множество экспериментальных и теоретических методов.

Щель в спектре

Среди возможных состояний квантовой системы особенно важно основное состояние — состояние с наинизшей энергией; в частности, при нулевой температуре система, вообще говоря, займёт основное состояние.

Для одночастичной системы, такой как электрон в атоме водорода, основное состояние устроено просто: по определению, частица занимает наинизший энергетический уровень. В системе многих невзаимодействующих частиц-фермионов (например, таковыми часто можно приблизительно считать электроны в твёрдом теле) основное состояние выглядит так: нижние одночастичные энергетические уровни заполнены частицами, а уровни выше определённой энергии свободны. В системе многих взаимодействующих частиц основное состояние, также называемое «физический вакуум», может быть устроено очень сложно, особенно если взаимодействие сильно или имеется самодействие, как в теориях Янга — Миллса.

Если между заполненными и свободными энергетическими уровнями в системе невзаимодействующих или слабо взаимодействующих фермионов имеется область энергий, где энергетических уровней нет вообще, говорят, что в энергетическом спектре имеется щель. Если спектр устроен подходящим образом, то, затратив энергию, равную ширине щели, можно переместить частицу с наивысшего занятого уровня на наинизший свободный и тем самым перевести всю многочастичную систему из основного состояние в первое (наинизшее по энергии) возбуждённое. В более сложных системах, таких как спиновые решёточные модели или теории Янга — Миллса, может быть невозможно выделить одночастичные уровни и одночастичный спектр, поскольку невозможно рассматривать одиночные частицы, но и в этом случае щелью (точнее, спектральной щелью, англ. spectral gap) называют энергию, необходимую на перевод системы из основного состояния в первое возбуждённое, то есть разность энергий этих состояний. Щель может быть и нулевой.

В спектре электронов в материале-полупроводнике наивысшая заполненная зона называется валентной зоной, наинизшая свободная зона — зоной проводимости, и между ними имеется щель, называемая запрещённой зоной (ширина запрещённой зоны — англ. band gap). В контексте уравнения Дирака в физике элементарных частиц аналогом заполненной валентной зоны является море Дирака, ширина щели равна удвоенной массе, и щель в этом случае, как и в случае теорий Янга — Миллса, называют массовой щелью (англ. mass gap).

Наличие или отсутствие щели в спектре и её величина — важная характеристика энергетического спектра.

Было показано, что задача теоретического определения наличия или отсутствия щели в спектре в общем случае алгоритмически неразрешима^[3].