Квазинормальная подгруппа

Квазинормальная подгруппа — это подгруппа особого типа, коммутирующая со всеми остальными подгруппами данной группы, относительно поэлементного произведения.

Квазигамильтонова группа — это группа, все подгруппы которой квазинормальны.

Примеры

• Нормальная подгруппа является квазинормальной.
• Дедекиндова группа является квазигамильтоновой.
• Расширение циклической p-группы с помощью циклической p-группы, где p — простое число, является квазигамильтоновой группой

Свойства

Квазинормальная подгруппа обладает модулярным свойством в решётке подгрупп^[1]

В конечной Т-группе отношение квазинормальности на множестве всех её подгрупп транзитивно^[2]

Подгруппа конечной группы является квазинормальной, тогда и только тогда, когда она является элементом субнормального ряда подгрупп и обладает модулярным свойством в решётке подгрупп^[1][3]

Если A — циклическая квазинормальная подгруппа группы G, то [A, G] — абелева группа.^[4]

Если A — абелева квазинормальная подгруппа группы G, а n — натуральное число, нечетное или делящееся на 4, то ${\displaystyle A^{n}}$ — квазинормальная подгруппа группы G.^[4]

Конечная группа квазигамильтонова тогда и только тогда, когда она нильпотентна и ее силовские подгруппы имеют модулярные групповые структуры.^[5]