Ковариантный метод

Ковариа́нтный метод — подход в теоретической физике, разработанный Ф. И. Фёдоровым на основе линейной алгебры и прямого тензорного исчисления. Получил распространение в приложении к описанию оптических явлений и, частично, в физике элементарных частиц.

Суть метода

Ковариантный метод — лаконичная математическая формулировка физических теорий, использующая тензорную алгебру. Основными областями применения метода являются теоретическая оптика и акустика. Ковариантный метод существенно упрощает громоздкие выражения, появляющиеся при описании распространения полей в сложных (анизотропных, гиротропных, бианизотропных) средах. С помощью данного метода вводится удобная в приложениях векторная параметризация группы Лоренца, которая может быть далее применена в теории элементарных частиц.

В общем случае электромагнитные и акустические поля описываются векторами. Если пространство, в котором распространяется волна, обладает симметрией, то вектор поля и тензоры, описывающие среду, могут быть заданы своими компонентами в некоторой системе координат, согласованной с симметрией системы, что обычно и применяется в оптике и акустике. Однако векторы и тензоры могут быть записаны безотносительно системы координат, просто как геометрические объекты, что и применяется в ковариантном методе. По этой причине ковариантный метод называют также бескоординатным (при решении задачи не задается конкретная система координат). Описание распространения волны в кристалле сводится к выполнению операций над тензорами и векторами, для чего разработаны методы, упрощающие работу с тензорами и явно использующие их инварианты (в трёхмерном пространстве для тензоров второй валентности это след, определитель тензора и определитель взаимного тензора). Симметрии кристалла в таком подходе выражаются как определённые соотношения между инвариантами, а описывающие кристалл тензоры имеют удобные выражения.

Виды тензоров

Основными видами тензоров трехмерного пространства, используемыми в ковариантном методе, являются

— единичный тензор ${\displaystyle {\textbf {1}}}$,

— проекционный оператор на направление единичного вектора ${\displaystyle {\textbf {n}}}$ — диада ${\displaystyle {\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}}$,

— проекционный оператор ${\displaystyle I={\textbf {1}}-{\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}=-{\mathbf {n} ^{\times }}^{2}}$ на плоскость, ортогональную единичному вектору ${\displaystyle {\textbf {n}}}$,

— тензор ${\displaystyle {\textbf {n}}^{\times }}$, дуальный вектору ${\displaystyle \mathbf {n} }$ : ${\displaystyle \mathbf {n} _{ij}^{\times }=\epsilon _{ilj}n_{l}}$.

Оптические кристаллы могут быть изотропными, одноосными или двуосными. Анизотропия кристаллов определяется тензором диэлектрической проницаемости, который может быть представлен в аксиальном виде:

1. изотропная среда ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon {\textbf {1}}}$,

2. одноосный кристалл ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{1}{\textbf {1}}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}){\textbf {c}}\otimes {\textbf {c}}}$ (вектор ${\displaystyle {\textbf {c}}}$ задает направление оптической оси),

3. двуосный кристалл ${\displaystyle \varepsilon =a{\textbf {1}}+b({\textbf {c}}'\otimes {\textbf {c}}''+{\textbf {c}}''\otimes {\textbf {c}}')}$.

Векторы, задающие направления оптических осей полностью определяются через собственные значения и главные оси соответствующих тензоров [1], [3], [4].

Векторная параметризация группы Лоренца

Общая группа Лоренца может быть представлена как группа преобразований ${\displaystyle {\textbf {}}L}$ вида

${\displaystyle L=\left({\begin{array}{cc}\alpha &i{\textbf {u}}\\i{\textbf {v}}&k\end{array}}\right)}$,

удовлетворяющих условиям ${\displaystyle {\textbf {}}(\det L)^{2}=1}$, ${\displaystyle {\textbf {}}LL^{T}=L^{T}L=1}$. Матрица Лоренца ${\displaystyle {\textbf {}}L}$ может быть параметризована одним трехмерным комплексным вектором ${\displaystyle {\textbf {q}}}$ и имеет вид

${\displaystyle L={\frac {(1+{\textbf {q}}_{+})(1+{\textbf {q}}_{-}^{\ast })}{|1+{\textbf {q}}^{2}|}}}$,

где ${\displaystyle {\textbf {q}}_{+}}$ и ${\displaystyle {\textbf {q}}_{-}^{\ast }}$ — четырехмерные антисимметричные матрицы, которые ставятся в соответствие комплексному трёхмерному вектору ${\displaystyle {\textbf {q}}}$. Указанные выше матрицы определяются вектором ${\displaystyle {\textbf {q}}}$ и комплексно сопряженным к нему вектором ${\displaystyle {\textbf {q}}^{\ast }}$ соответственно и равны

${\displaystyle {\textbf {q}}_{+}=\left({\begin{array}{cc}{\textbf {q}}^{\times }&{\textbf {q}}\\-{\textbf {q}}&0\end{array}}\right),\qquad {\textbf {q}}_{-}^{\ast }=\left({\begin{array}{cc}{\textbf {q}}^{\ast \times }&-{\textbf {q}}^{\ast }\\{\textbf {q}}^{\ast }&0\end{array}}\right)}$.

Для вектор-параметров группы Лоренца справедлив следующий закон композиции

${\displaystyle {\textbf {q}}''={\frac {{\textbf {q}}+{\textbf {q}}'+{\textbf {q}}\times {\textbf {q}}'}{1-{\textbf {q}}{\textbf {q}}'}}}$.

Векторная параметризация может быть введена и для группы вращений, причем в этом случае вектор-параметры будут принадлежать действительному трёхмерному пространству, а закон их композиции будет тем же.

Применение метода

Ковариантный метод позволяет производить вычисления с векторами и тензорами в их прямой форме, не прибегая к индексной записи. При этом достигается компактность и простота получаемых выражений.

Например, критерии поляризации имеют следующий вид:

${\displaystyle \mathbf {E} ^{2}=0}$ - круговая поляризация

${\displaystyle [\mathbf {E} ,\mathbf {E} ^{*}]=0}$ - линейная поляризация

существует несколько вариантов критерия круговой и линейной поляризации [3]. Если ни один из приведенных критериев не выполняется, мы имеем дело с общим случаем эллиптической поляризации, при этом выясняются размеры и ориентация осей эллипса поляризации в гораздо более компактной форме, нежели это делается в декартовой системе координат [7].

Дополнительно

1. Сотрудники кафедры теоретической физики БГУ занимаются обобщением ковариантного метода. Такой обобщенный метод был назван операторным [6], так как основан на применении эволюционных операторов, связывающих поля в двух точках пространства. Операторный метод применим для описания слоистых систем (в том числе с цилиндрической и сферической симметрией).
2. Ковариантный метод успешно использовался не только в работах белорусских физиков, но и в исследованиях сотрудников Института кристаллографии АН СССР^[1][2].

См. также

• Дифференциальные формы в электромагнетизме