Кольцо многочленов

Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики, среди результатов, полученных с использованием этой структуры — теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения, представления об устройстве линейных операторов.

Кольцо многочленов от одной переменной

Многочлен от ${\displaystyle x}$ с коэффициентами в поле ${\displaystyle k}$ — это выражение вида:

${\displaystyle p=p_{m}x^{m}+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots +p_{1}x+p_{0}}$,

где ${\displaystyle p_{0},\dots p_{m}}$ — элементы ${\displaystyle k}$, называемые коэффициентами ${\displaystyle p}$, а ${\displaystyle x,x^{2},\dots }$ — формальные символы («степени ${\displaystyle x}$»). Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с алгебраическими выражениями (коммутативность сложения, дистрибутивность, приведение подобных членов и так далее). Члены ${\displaystyle p_{k}x^{k}}$ с нулевым коэффициентом ${\displaystyle p_{k}}$ при записи обычно опускаются. Используя символ суммы, многочлены записывают в более компактном виде:

${\displaystyle p\sum _{k=0}^{m}p_{k}x^{k}}$.

Множество всех многочленов с коэффициентами в ${\displaystyle k}$ образует коммутативное кольцо, обозначаемое ${\displaystyle k[x]}$ и называемое кольцом многочленов над ${\displaystyle k}$. Символ ${\displaystyle x}$ обычно называют «переменной», эта терминология возникла из рассмотрения полиномиальных функций над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или над ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Однако, в общем случае многочлены и полиномиальные функции — это разные вещи; например, над конечным полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ из простого числа ${\displaystyle p}$ элементов многочлены ${\displaystyle x^{1}}$ и ${\displaystyle x^{p}}$ задают одну и ту же функцию, но это разные многочлены — многочлены считаются равными тогда и только тогда, когда у них совпадают все коэффициенты. Следовательно, переменную ${\displaystyle x}$ нельзя считать принадлежащей полю ${\displaystyle k}$; кольцо ${\displaystyle k[x]}$ можно представлять так: во множество элементов поля добавляется новый элемент ${\displaystyle x}$ и требуется чтобы выполнялись аксиомы кольца и чтобы ${\displaystyle x}$ коммутировал с элементами поля.

Поскольку элементы кольца многочленов можно умножать на «скаляры» из поля ${\displaystyle k}$, оно фактически является ассоциативной алгеброй над полем ${\displaystyle k}$. Если рассматривать ${\displaystyle k[x]}$ как векторное пространство (то есть «забыть» об умножении), оно имеет бесконечный базис из элементов ${\displaystyle 1=x^{0}}$, ${\displaystyle x=x^{1}}$, ${\displaystyle x^{2}}$ и так далее.

В кольце ${\displaystyle k[x]}$ один многочлен можно разделить на другой (например, воспользовавшись алгоритмом деления столбиком) с остатком. При этом степень остатка будет меньше, чем степень делителя, это делает функцию возведения в степень многочлена евклидовой функцией, а кольцо многочленов — евклидовым. Из этого следует, что в кольце многочленов можно осуществить алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя, а значит, существует разложение на простые (такие кольца называются факториальными). Из этого также следует, что ${\displaystyle k[x]}$ — область главных идеалов.

Факторкольца

Если коммутативное кольцо ${\displaystyle L}$, содержащее поле ${\displaystyle k}$ таково, что существует элемент ${\displaystyle \theta }$ кольца ${\displaystyle L}$, причём ${\displaystyle L}$ порождается ${\displaystyle \theta }$ над ${\displaystyle k}$, то есть любой элемент ${\displaystyle L}$ можно выразить через ${\displaystyle \theta }$ и коэффициенты из поля ${\displaystyle k}$ с помощью операций сложения и умножения, то существует единственный гомоморфизм колец ${\displaystyle \varphi }$ из ${\displaystyle k[x]}$ в ${\displaystyle L}$, сохраняющий ${\displaystyle k}$ и отправляющий ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle \theta }$. Сюръективность этого отображения означает в точности то, что ${\displaystyle L}$ порождается ${\displaystyle \theta }$ над ${\displaystyle k}$. Применив к этому отображению теорему о гомоморфизме, получается, что ${\displaystyle L}$ изоморфно факторкольцу ${\displaystyle k[x]}$ по ядру ${\displaystyle \varphi }$; поскольку любой идеал в ${\displaystyle k[x]}$ главный, то ${\displaystyle L\simeq k[x]/(p)}$.

Важный частный случай — когда кольцо, содержащее ${\displaystyle k}$, само является полем. Простота фактормодуля по ${\displaystyle (p)}$ равносильна неприводимости ${\displaystyle p}$. Теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение может быть порождено одним элементом, и, следовательно, имеет вид фактора кольца многочленов над меньшим полем по неприводимому многочлену. В качестве примера можно привести поле комплексных чисел, которое порождено над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ элементом ${\displaystyle i}$, таким что ${\displaystyle i^{2}+1=0}$. Соответственно, многочлен ${\displaystyle x^{2}+1}$ неприводим над ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle \mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [x]/(X^{2}+1)}$.

Более общо, для произвольного (даже некоммутативного) кольца ${\displaystyle A}$, содержащего ${\displaystyle k}$ и элемента ${\displaystyle a}$ кольца ${\displaystyle A}$, коммутирующего со всеми элементами ${\displaystyle k}$, существует единственный гомоморфизм колец из ${\displaystyle k[x]}$ в ${\displaystyle A}$, отправляющий ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle \phi :k[x]\to A,\quad \phi (x)=a}$.

Существование и единственность такого гомоморфизма выражается с помощью определённого универсального свойства кольца многочленов и объясняет определённую «уникальность» кольца многочленов в различных конструкциях теории колец и коммутативной алгебры.

Модули

${\displaystyle k[x]}$ — область главных идеалов, поэтому к модулям над ним применима соответствующая структурная теорема. Эта классификация важна в теории линейных операторов, так как модули над ${\displaystyle k[x]}$ взаимно-однозначно соответствуют линейным операторам на ${\displaystyle k}$-векторном пространстве.

Многочлены над кольцом

Многочлены над кольцом определяются совершенно аналогично многочленам над полем, однако большая часть удобных свойств для них перестаёт быть верной. Во-первых, к многочленам над произвольным кольцом нельзя применить алгоритм деления столбиком — ведь в кольце невозможно делить даже на многочлены нулевой степени (константы). Следовательно, в общем случае кольцо многочленов не является евклидовым (и даже областью главных идеалов), однако ${\displaystyle R[x]}$ останется факториальным в том случае, если само ${\displaystyle R}$ факториально. В этом же смысле при переходе к кольцу многочленов сохраняются свойства целостности и нётеровости (последний результат известен как теорема Гильберта о базисе).

Многочлены от нескольких переменных

Многочлен от ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ с коэффициентами в поле ${\displaystyle K}$ определяется аналогично многочлену от одной переменной, но обозначения становятся более сложными. Для любого мультииндекса ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$, где каждое ${\displaystyle \alpha _{i}}$ — ненулевое целое число, вводится:

${\displaystyle X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{n}X_{i}^{\alpha _{i}}=X_{1}^{\alpha _{1}}\ldots X_{n}^{\alpha _{n}},\quad p_{\alpha }=p_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}}\in \mathbb {K} }$.

${\displaystyle X^{\alpha }}$ называется одночленом степени ${\displaystyle |\alpha |=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}}$, а многочлен — это конечная линейная комбинация одночленов с коэффициентами в ${\displaystyle K}$:

${\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha }}$.

Многочлены от ${\displaystyle n}$ переменных с коэффициентами в поле ${\displaystyle k}$ (с обычными операциями сложения и умножения) образуют коммутативное кольцо, обозначаемое ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}}$. Это кольцо можно получить многократным применением операции «взятия кольца многочленов над данным кольцом». Например, ${\displaystyle k[x_{1},x_{2}]}$ изоморфно ${\displaystyle k[x_{1}][x_{2}]}$, как и ${\displaystyle k[x_{2}][x_{1}]}$. Это кольцо играет фундаментальную роль в алгебраической геометрии. Многие результаты коммутативной алгебры были достигнуты благодаря изучению идеалов этого кольца и модулей над ним.

Теорема Гильберта о нулях

Основная статья: Теорема Гильберта о нулях

Несколько фундаментальных результатов, касающихся взаимосвязи между идеалами кольца ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ и алгебраическими подмногообразиями ${\displaystyle k^{n}}$ известны под общим именем теоремы Гильберта о нулях.

Слабая форма формулируется для алгебраически замкнутого поля ${\displaystyle k}$ — любой максимальный идеал ${\displaystyle m}$ кольца ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ имеет вид:

${\displaystyle m=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n}),\quad a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}.}$

Другой ослабленный вариант — для произвольного поля коэффициентов ${\displaystyle k}$: если ${\displaystyle K}$ — алгебраически замкнутое поле, содержащее ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle I}$ — идеал в кольце ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$, то ${\displaystyle I}$ содержит 1 в том и только в том случае, когда многочлены из ${\displaystyle I}$ не имеют общего нуля в ${\displaystyle K^{n}}$.

Сильная форма — для поля ${\displaystyle k}$ и содержащего его алгебраически замкнутого поля ${\displaystyle K}$, идеала ${\displaystyle I}$ в кольце ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ и алгебраического поднмногообразия ${\displaystyle V(I)}$, определённого ${\displaystyle I}$ и многочлена ${\displaystyle f}$, равного нулю во всех точках ${\displaystyle V(I)}$ — некоторая степень ${\displaystyle f}$ принадлежит идеалу ${\displaystyle I}$.

Если использовать определение радикала идеала, теорема в сильной форме утверждает, что ${\displaystyle f}$ принадлежит радикалу ${\displaystyle I}$. Немедленное следствие из этой формы — существование биективного соответствия между радикальными идеалами ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ и алгебраическими подмногообразиями ${\displaystyle n}$-мерного аффинного пространства ${\displaystyle K^{n}}$.

См. также

• Формальный степенной ряд
• Ряд Лорана

Литература

• Tsit-Yuen Lam. A First Course in Noncommutative Rings. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001. — ISBN 978-0-387-95325-0.
• Serge Lang. Algebra. — 3rd. — New York: Springer-Verlag, 2002. — Т. 211. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-95385-4.
• M. Scott Osborne. Basic homological algebra. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000. — Т. 196. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-98934-1.