Ряд Лорана

Обзорная статья: Кольцо (геометрия)

Ряд Лора́на^[1] (или разложение Лорана^[2][3], представление Лорана^[4]) комплексной функции в кольце — понятие комплексного анализа, раздела математики, представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями^[5].

Круговое кольцо сходимости ряда Лорана

Ряд Лорана можно понимать как обобщение некоторого ряда комплексной функции в окрестности точки ${\displaystyle z=z_{0}}$, расположенного либо только по целым неотрицательным степеням разности комплексных чисел ${\displaystyle z-z_{0}}$ (степенного ряда), либо только по целым неположительным степеням ${\displaystyle z-z_{0}}$ в следующем виде^[6][7][8][9]:

${\displaystyle \sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}=\sum \limits _{k=0}^{+\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}+\sum \limits _{k=-1}^{-\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}=}$

${\displaystyle =c_{0}+c_{1}(z-z_{0})+c_{2}(z-z_{0})^{2}+\cdots +{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}+{\frac {c_{-2}}{(z-z_{0})^{2}}}+\cdots }$.

Ряд Лорана сходится абсолютно и равномерно в некотором круговом кольце ${\displaystyle r<|z-z_{0}|<R}$ и является в этом кольце аналитической функцией^[10]. Но множество точек сходимости ряда Лорана может быть больше открытого кольца на некоторое множество точек его границы^[11].

Определение

1. Конечная точка. Ряд Лорана в конечной точке ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ — функциональный ряд по целым степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$ над полем комплексных чисел:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},\quad }$ где переменная ${\displaystyle z\in {\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\}}$, а коэффициенты ${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} }$ для ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.

Этот ряд является суммой двух степенных рядов:

1. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$ — часть по неотрицательным степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$,
2. ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$ — часть по отрицательным степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$.

Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.

Если ${\displaystyle A_{z_{0}}\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\})}$ — область сходимости ряда Лорана такая, что ${\displaystyle z_{0}\in \partial {A_{z_{0}}}}$, то для ${\displaystyle A_{z_{0}}}$

ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$ называется правильной частью,

ряд ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$ называется главной частью.

2. Бесконечно удалённая точка. Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке ${\displaystyle z_{0}=\infty \in {\overline {\mathbb {C} }}}$ — функциональный ряд по целым степеням ${\displaystyle z}$ над полем комплексных чисел:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad }$ где переменная ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$, а коэффициенты ${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} }$ для ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.

По внешнему виду ряд для ${\displaystyle z_{0}=\infty }$ совпадает с рядом для ${\displaystyle z_{0}=0}$, однако с формальной точки зрения получен с помощью замены ${\displaystyle z\leftrightarrow {\frac {1}{\zeta }}}$ для ${\displaystyle \zeta _{0}=0}$.

Если ${\displaystyle A_{\infty }\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\})}$ — область сходимости ряда Лорана такая, что ${\displaystyle \infty \in \partial {A_{\infty }}}$, то для ${\displaystyle A_{\infty }}$

ряд ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{0}c_{n}z^{n}}$ называется правильной частью,

ряд ${\displaystyle \sum _{n=+1}^{+\infty }{c_{n}}{z^{n}}}$ называется главной частью.

Свойства

• Часть по положительным степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$ сходится во внутренности ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C}$ :|z-z_{0}|<R\}} круга радиуса ${\displaystyle R={\dfrac {1}{{\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{n}|^{1/n}}}\in [0;+\infty ]}$,

часть по отрицательным степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$ сходится во внешности ${\displaystyle \Delta _{r}={\overline {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {D}}_{r}=\{z\in {\overline {\mathbb {C} }}:|z-z_{0}|>r\}}$ круга ${\displaystyle D_{r}}$ радиуса ${\displaystyle r={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{-n}|^{1/n}\in [0;+\infty ]}$.

Поэтому, если ${\displaystyle r<R\,}$, то внутренность ${\displaystyle A}$ области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо

${\displaystyle A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}=\Delta _{r}\cap D_{R}}$.

• Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности ${\displaystyle C_{R}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C}$ :|z-z_{0}|=R\}} зависит только от ${\displaystyle \sum _{n=n_{s}}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$ для произвольного ${\displaystyle n_{s}\in \mathbb {N} }$,

а в точках граничной окружности ${\displaystyle C_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C}$ :|z-z_{0}|=r\}} — только от ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$ для произвольного ${\displaystyle n_{s}\in \mathbb {N} }$.

Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца ${\displaystyle A}$ может быть разнообразным.

• Во всех точках кольца ${\displaystyle A}$ ряд Лорана сходится абсолютно.
• На любом компактном подмножестве ${\displaystyle K\subset A}$ ряд сходится равномерно.
• Для каждой точки ${\displaystyle \zeta _{0}\in A}$ существует такое значение ${\displaystyle \rho (\zeta _{0})=\min\{{\textrm {dist}}(C_{r}(z_{0}),\zeta _{0}),{\textrm {dist}}(C_{R}(z_{0}),\zeta _{0})\}>0}$, что ${\displaystyle D_{\rho }(\zeta _{0})=\{z\in \mathbb {C}$ :|z-\zeta _{0}|<\rho (\zeta _{0})\}\subset A} , и ряд Лорана ${\displaystyle f(z)}$ может быть записан в виде сходящегося в ${\displaystyle D_{\rho }(\zeta _{0})}$ ряда по степеням ${\displaystyle (z-\zeta _{0})}$:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{k=0}^{+\infty }t_{k}(\zeta _{0})(z-\zeta _{0})^{k},\quad }$ где ${\displaystyle z\in D_{\rho }(\zeta _{0})}$, а ${\displaystyle t_{k}(\zeta _{0})={\frac {f^{(k)}(\zeta _{0})}{k!}}}$ для ${\displaystyle k\in \{0\}\cup \mathbb {N} }$,

т.е. ${\displaystyle \zeta _{0}}$ является для ${\displaystyle f(z)}$ правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в ${\displaystyle A}$ есть аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$.

• Для ${\displaystyle 0<r<R<+\infty }$ на граничных окружностях кольца сходимости ${\displaystyle A}$ существуют непустые множества ${\displaystyle I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0})}$, ${\displaystyle I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0})}$ точек, не являющихся для ${\displaystyle f(z)}$ правильными.
• Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном ${\displaystyle K\subset A}$ почленно.
• Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в ${\displaystyle A}$ функцию только при ${\displaystyle c_{-1}=0}$, поскольку для любого ${\displaystyle \rho >0}$ значение ${\displaystyle \int \limits _{\;\,|z-z_{0}|=\rho }c_{n}(z-z_{0})^{n}\cdot dz=\left\{{\begin{array}{ll}c_{-1}\cdot 2\pi i\,,&n=-1\,;\\0\,,&n\neq -1\,.\end{array}}\right.}$

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\,}$, представляющий в двусвязной области ${\displaystyle A}$ функцию ${\displaystyle f(z)-{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}\,}$, для любого компактного ${\displaystyle K\subset A}$ и любой спрямляемой ориентированной кривой ${\displaystyle \gamma \subset K}$ можно интегрировать по ${\displaystyle \gamma }$ почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек ${\displaystyle \gamma }$ и не зависит от формы кривой ${\displaystyle \gamma }$.

• Коэффициенты ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ряда Лорана ${\displaystyle f(z)}$ удовлетворяют соотношениям

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z-z_{0}|=\rho }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}}$,

где ${\displaystyle \gamma }$ — любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном ${\displaystyle K\subset A}$ и один раз обходящая против часовой стрелки точку ${\displaystyle z_{0}}$. В частности, в качестве ${\displaystyle \gamma }$ можно взять любую окружность ${\displaystyle C_{\rho }=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0;2\pi ]\}}$ радиуса ${\displaystyle \rho \in (r;R)}$ с центром в ${\displaystyle z_{0}}$, расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр ${\displaystyle t}$ должен возрастать).

• Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$, сходящихся в ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности ${\displaystyle C_{\rho }=\{z\in \mathbb {C}$ :|z-z_{0}|=\rho \}\subset (A_{1}\cap A_{2})} или на гомотопной ей по ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}}$ спрямляемой кривой ${\displaystyle \gamma \sim C_{\rho }}$, то совпадают все коэффициенты этих рядов.

Теорема Лорана

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана.

Любая функция ${\displaystyle f(z)}$, являющаяся однозначной и аналитической в кольце ${\displaystyle A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}}$, представима в ${\displaystyle A}$ сходящимся рядом Лорана по степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$.

Представление однозначной аналитической функции ${\displaystyle f(z)}$ в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности ${\displaystyle A_{z_{0}}}$ изолированной особой точки:

1) если точка ${\displaystyle z_{0}\neq \infty }$, то существует радиус ${\displaystyle R_{z_{0}}\in (0;+\infty ]}$ такой, что в проколотой окрестности

${\displaystyle A_{z_{0}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad }$

функция ${\displaystyle f(z)}$ представима (сходящимся) рядом Лорана;

2) если точка ${\displaystyle z_{0}=\infty }$, то существует радиус ${\displaystyle r_{\infty }\in [0;+\infty )}$ такой, что в проколотой окрестности

${\displaystyle A_{\infty }=\{z\in \mathbb {C} \mid r_{\infty }<|z|<\infty \}}$

функция ${\displaystyle f(z)}$ представима (сходящимся) рядом Лорана.

Тип изолированной особой точки ${\displaystyle z_{0}}$ определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности ${\displaystyle A_{z_{0}}}$:

• Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
• Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
• Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

Связь рядов Лорана и Фурье

Рассмотрим связь между рядами Лорана и рядами Фурье. Определим ряд Фурье некоторой функции ${\displaystyle \varphi }$, которая интегрируема на отрезке ${\displaystyle [0,\,2\pi ]\subset \mathbb {R} }$, как следующий функциональный ряд^[12]:

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nt+b_{n}\sin nt)}$,

где

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)\cos ntdt,\,\,}$ ${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)\sin ntdt,\,\,}$ ${\displaystyle n=0,\,1,\,\dots ,\,\,}$ ${\displaystyle b_{0}=0.}$

Перепишем этот ряд Фурье в комплексной форме. Используем формулы Эйлера

${\displaystyle \cos nt={\frac {e^{int}+e^{-int}}{2}}}$, ${\displaystyle \,\,\sin nt={\frac {e^{int}-e^{-int}}{2i}}}$,

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}e^{int}+{\frac {a_{n}+ib_{n}}{2}}e^{-int}\right)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{int}}$,

где

${\displaystyle c_{n}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)e^{-int}dt,\,\,}$ ${\displaystyle n=0,\,1,\,\dots ,}$

${\displaystyle c_{n}={\frac {a_{-n}-ib_{-n}}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)e^{-int}dt,\,\,}$ ${\displaystyle n=-1,\,-2,\,\dots ,}$

получаем, что ряд

${\displaystyle \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{int}}$

с коэффициентами

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)e^{-int}dt}$

и есть ряд Фурье исходной функции ${\displaystyle \varphi }$, переписанный в комплексной форме^[13].

Наконец, положим

${\displaystyle e^{it}=z}$, ${\displaystyle \,\,dz=zidt}$, ${\displaystyle \,\,\varphi (t)=f(e^{it})=f(z)}$,

тогда ряд Фурье запишется в форме ряда Лорана

${\displaystyle \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}}$

со следующими коэффициентами^[14]:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(e^{it})e^{-int}dt={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z|=1}f(z){\frac {dz}{z^{n+1}}}}$.

Итак, доказана следующая теорема^[14].

Теорема 1. Комплексная форма ряда Фурье функции ${\displaystyle \varphi (t)}$, ${\displaystyle t\in [0,\,2\pi ]}$, есть ряд Лорана функции ${\displaystyle f(z)=\varphi (t)}$, где ${\displaystyle z=e^{it}}$, на единичной окружности ${\displaystyle \{|z|=1\}}$^[14][14].

Естественно, что верна и обратная теорема^[14].

Теорема 2. Ряд Лорана комплексной функции ${\displaystyle f(z)=\varphi (t)}$ на единичной окружности ${\displaystyle \{|z|=1\}}$ есть комплексная форма ряда Фурье функции ${\displaystyle f(e^{it})=\varphi (t)}$, ${\displaystyle t\in [0,\,2\pi ]}$^[14].

Замечание. В общем случае, даже когда ряд Фурье сходится к функции ${\displaystyle \varphi (t)}$ в любой точке отрезка ${\displaystyle [0,\,2\pi ]}$, то для соответствующего ряда Лорана может оказаться ${\displaystyle R=r=1}$, то есть область его сходимости пуста. Оказывается, только при некоторых строгих условиях для функции ${\displaystyle \varphi (t)}$ у соответствующего ряда Лорана область сходимости будет непуста^[14].

Историческая справка

Ряды, аналогичные ряду Лорана, встречаются уже в 1748 году у швейцарского, прусского и российского математика Л. Эйлера. Тем не менее такие ряды получили своё название по имени французского математика П. Лорана, доказавшего в 1843 году свою теорему. Более того, ту же теорему получил немного ранее немецкий математик К. Вейерштрасс, однако эта его работа была опубликована только в 1894 году^[7].